ANGICO E SUAS LENDAS: FUNÇÃO SINC

Em matemática, a função sinc, o termo "sinc" é uma contração do nome da função em latim sinus cardinalis (seno cardinal), denotada por

\operatorname {sinc} (x)

e às vezes como

Sa(x)

, tem duas definições praticamente equivalentes. Na teoria de processamento digital de sinais e informações, a função sinc normalizada é comumente definida por:^[1]

\operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}.\,\!

Ela é dita normalizada porque a sua integral sobre todos os

x

1

. A transformada de Fourier da função sinc normalizada é a função retangular sem escala. Esta função é fundamental no conceito de reconstrução de sinais originais contínuos limitados em banda, a partir de amostras uniformemente espaçadas desse sinal.^[2]

Em matemática, a função sinc não-normalizada historicamente é definida por^[3]

\operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin(x)}{x}}.\,\!

A única diferença entre as duas definições está na escala da variável independente (o eixo x) por um fator de π. Em ambos os casos, o valor da função na singularidade removível em zero é entendido como o valorlimite

1

. A função sinc é analítica em toda parte.

Índice

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Propriedades[editar | editar código-fonte]

A função sinc normalizada (em azul) e a função sinc não-normalizada (em vermelho), mostradas na mesma escala de

x=-6\pi ~a~6\pi

Os zeros do sinc não normalizado são múltiplos não nulos de

\pi

; já os zeros do sinc normalizado são inteiros não nulos.

Os máximos e mínimos locais do sinc não-normalizado correspondem à sua intersecção com a função cosseno. Ou seja,

{\frac {\operatorname {sen}(\xi )}{\xi }}=\cos(\xi )

para todos os

\xi

onde a derivada de

{\frac {\operatorname {sen}(x)}{x}}

é nula (e, portanto, um extremo local é atingido).

A função sinc normalizada tem uma representação simples como o produtório infinito

{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}=\prod _{{n=1}}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right)\,\!

e está relacionada à função gama

\Gamma (x)

pela fórmula de reflexão de Euler:

{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}={\frac {1}{\Gamma (1+x)\Gamma (1-x)}}.\,\!

Euler descobriu que^[4]

{\frac {\sin(x)}{x}}=\prod _{{n=1}}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right).

A transformada de Fourier contínua do sinc normalizado (à frequência comum) é rect(

f

\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sinc} (t)\,e^{-i2\pi ft}\,dt=\operatorname {rect} (f),\,\!

onde a função retangular é

1

para argumentos entre

-{\tfrac {1}{2}}~e~{\tfrac {1}{2}}

, e zero no caso contrário. Isto corresponde ao fato de que o filtro sinc é o filtro passa-baixa ideal ("parede de tijolos", ou seja, resposta em freqüência retangular). Esta integral de Fourier, incluindo o caso especial

\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\,dx=\operatorname {rect} (0)=1\,\!

é uma integral imprópria e não uma integral de Lebesgue convergente como

\int _{{-\infty }}^{\infty }\left|{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\right|\,dx=+\infty .

A função sinc normalizada tem propriedades que a tornam ideal em relação à interpolação de amostras de funções limitadas em banda:

É uma função de interpolação, ou seja, $\operatorname {sinc} (0)=1$ $\operatorname {sinc} (0)=1$ , e $\operatorname {sinc} (k)=0$ $\operatorname {sinc} (k)=0$ para $k$ $k$ inteiros e não-nulos.
As funções $x_{k}(t)=\operatorname {sinc} (t-k)$ $x_{k}(t)=\operatorname {sinc} (t-k)$ formam uma base ortonormal para as funções limitadas em banda no espaço de funções $L^{2}(R)$ $L^{2}(R)$ , cuja maior frequência angular é $\omega _{H}=\pi$ $\omega _{H}=\pi$ (isto é, o ciclo de frequência mais alto é $f_{H}={\tfrac {1}{2}}$ $f_{H}={\tfrac {1}{2}}$ ).

Outras propriedades das duas funções sinc são:

O sinc não normalizado é a zerogésima ordem da função de Bessel esférica de primeiro tipo, $j_{0}(x)$ $j_{0}(x)$ . O sinc normalizado é $j_{0}(\pi x)$ $j_{0}(\pi x)$ .

$\int _{0}^{x}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\,d\theta =\operatorname {Si} (x)\,\!$ $\int _{0}^{x}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\,d\theta =\operatorname {Si} (x)\,\!$

onde

Si(x)

é o seno integral.

$\lambda \cdot \operatorname {sinc} (\lambda x)$ $\lambda \cdot \operatorname {sinc} (\lambda x)$ (não normalizado) é uma das duas soluções linearmente independentes da EDO linear

x{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2{\frac {dy}{dx}}+\lambda ^{2}xy=0.\,\!

A outra solução é

{\frac {\cos(\lambda x)}{x}}

, que diverge em

x = 0

, ao contrário da função sinc.

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{2}(\theta )}{\theta ^{2}}}\,d\theta =\pi \rightarrow \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sinc} ^{2}(x)\,dx=1.$ $\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{2}(\theta )}{\theta ^{2}}}\,d\theta =\pi \rightarrow \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sinc} ^{2}(x)\,dx=1.$

onde o sinc normalizado é significativo.

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{3}(\theta )}{\theta ^{3}}}\,d\theta ={\frac {3\pi }{4}}\,\!$ $\int _{{-\infty }}^{\infty }{\frac {\sin ^{3}(\theta )}{\theta ^{3}}}\,d\theta ={\frac {3\pi }{4}}\,\!$

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{4}(\theta )}{\theta ^{4}}}\,d\theta ={\frac {2\pi }{3}}\,\!$ $\int _{{-\infty }}^{\infty }{\frac {\sin ^{4}(\theta )}{\theta ^{4}}}\,d\theta ={\frac {2\pi }{3}}\,\!$

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

Ir para cima↑ Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W., eds. (2010), Numerical methods, NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255, MR 2723248 (eminglês)
Ir para cima↑ M. J. Roberts, Fundamentos de Sinais e Sistemas, McGraw Hill Brasil ISBN 8-563-30857-2
Ir para cima↑ Alfredo Julio Fernandes Neto, Flávio Domingues das Neves, Paulo Cézar Simamoto Junior, Fundamentos de Circuitos Elétricos - 5ed , AMGH Editora, 2013 ISBN 8-580-55173-0
Ir para cima↑ Euler, Leonhard, On the sums of series of reciprocals Bibcode: 2005math......6415E (em inglês)