SOMA TELESCÓPICA

Em matemática, a soma telescópica é uma soma da seguinte forma:

${\displaystyle (a_{2}-a_{1})+(a_{3}-a_{2})+(a_{4}-a_{3})+\ldots +(a_{n}-a_{n-1})\,}$

Esta soma pode ser simplificada:

${\displaystyle (a_{2}-a_{1})+(a_{3}-a_{2})+(a_{4}-a_{3})+\ldots +(a_{n}-a_{n-1})=a_{n}-a_{1}\,}$

Naturalmente qualquer seqüência de termos ${\displaystyle b_{n}\,}$ pode ser escrita como uma soma telescópica:

${\displaystyle b_{n}=b_{1}+(b_{2}-b_{1})+(b_{3}-b_{2})+\ldots +(b_{n}-b_{n-1})\,}$

Exemplo[editar | editar código-fonte]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n(n+1)}}&{}=\sum _{n=1}^{N}\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\&{}=\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left({\frac {1}{N}}-{\frac {1}{N+1}}\right)\\&{}=1+\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left(-{\frac {1}{N}}+{\frac {1}{N}}\right)-{\frac {1}{N+1}}\\&{}=1-{\frac {1}{N+1}}\to 1\ \mathrm {quando} \ N\to \infty .\end{aligned}}}$

A série telescópica[editar | editar código-fonte]

Define-se série telescópica como o limite da soma telescópica:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(a_{n+1}-a_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n+1}-a_{1}=\lim _{n\to \infty }a_{n}-a_{1}}$

A série telescópica converge, portanto, se e somente se existe o limite ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\,}$

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