TABUA DE INTEGRAIS

Uma tábua de integrais^[1] (ou tabela de integrais) é uma lista que relaciona funções a famílias de antiderivadas apropriadas. Associada às propriedades de integração, tais tabelas são ferramentas de auxílio no cálculo de integrais. Este artigo contém uma tabela de integração para funções comumente utilizadas. Ao longo do texto, ${\displaystyle a,c\in \mathbb {R} }$ são constantes dadas e ${\displaystyle C}$ denota uma constante indeterminada. As fórmulas estão apresentadas sem referência explícita do conjunto para a qual sejam válidas. Mais informações sobre elas, bem como suas demonstrações podem ser encontradas em livros textos de cálculo^[2][3][4] e de compêndios de matemática^{[5][6][7][8][9]}

Índice

  [esconder] 

• 1Propriedades das Integrais Indefinidas
• 2Integrais Indefinidas de Funções Simples
  • 2.1Funções Racionais
  • 2.2Logaritmos
  • 2.3Funções Exponenciais
  • 2.4Funções Irracionais
  • 2.5Funções Trigonométricas
  • 2.6Funções Hiperbólicas
• 3Integrais Impróprias^{[carece de fontes?]}
• 4Funções Especiais
• 5Referências

Propriedades das Integrais Indefinidas[editar | editar código-fonte]

• ${\displaystyle \int cf(x)\,dx=c\int f(x)\,dx}$
• ${\displaystyle \int [f(x)+g(x)]\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx}$
• ${\displaystyle \int f'(x)g(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)\,dx}$

Integrais Indefinidas de Funções Simples[editar | editar código-fonte]

Funções Racionais[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Lista de integrais de funções racionais

• ${\displaystyle \int x^{n}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\qquad {\mbox{ para }}n\neq -1}$
• ${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln {\left|x\right|}+C}$
• ${\displaystyle \int {\frac {1}{a^{2}+x^{2}}}\,dx={\frac {1}{a}}{\mbox{arc tg }}{\frac {x}{a}}+C}$
• ${\displaystyle \int {\frac {1}{a^{2}-x^{2}}}dx={\frac {1}{2a}}\ln \left|{\frac {a+x}{a-x}}\right|+C}$^[10]

Logaritmos[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Lista de integrais de funções logarítmicas

• ${\displaystyle \int \log _{a}x\,dx=x\log _{a}x-{\frac {x}{\ln a}}+C}$
• ${\displaystyle \int \ln x\,dx=x(\ln x-1)+C}$

Funções Exponenciais[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Lista de integrais de funções exponenciais

• ${\displaystyle \int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln {a}}}+C}$
• ${\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C}$

Funções Irracionais[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Lista de integrais de funções irracionais

• ${\displaystyle \int {1 \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\,dx={\mbox{arc sen }}{\frac {x}{a}}+C}$
• ${\displaystyle \int {-1 \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\,dx=\arccos {\frac {x}{a}}+C}$
• ${\displaystyle \int {\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}}dx={\frac {1}{a}}{\mbox{arc sec }}\left|{\frac {x}{a}}\right|+C}$
• ${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}dx=\ln |x+{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}|+C}$
• ${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}dx=\ln |x+{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}|+C}$
• ${\displaystyle \int {\frac {1}{x{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}}dx=-{\frac {1}{a}}\ln \left|{\frac {a+{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}{x}}\right|+C}$
• ${\displaystyle \int {\frac {1}{x{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}}dx=-{\frac {1}{a}}\ln \left|{\frac {a+{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}{x}}\right|+C}$

Funções Trigonométricas[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Lista de integrais de funções trigonométricas

• ${\displaystyle \int \cos {x}\,dx=\operatorname {sen} {x}+C}$
• ${\displaystyle \int {\mbox{sen }}{x}\,dx=-\cos {x}+C}$
• ${\displaystyle \int {\mbox{tg }}{x}\,dx=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C}$^[11]
• ${\displaystyle \int {\mbox{cossec }}{x}\,dx=\ln {\left|{\mbox{cossec }}{x}-{\mbox{cotg }}{x}\right|}+C}$
• ${\displaystyle \int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+{\mbox{tg }}{x}\right|}+C}$
• ${\displaystyle \int {\mbox{cotg }}{x}\,dx=\ln {\left|{\mbox{sen }}{x}\right|}+C}$
• ${\displaystyle \int \sec {x}{\mbox{tg }}{x}\,dx=\sec {x}+C}$
• ${\displaystyle \int {\mbox{cossec }}{x}{\mbox{cotg }}{x}\,dx=-{\mbox{cossec }}{x}+C}$
• ${\displaystyle \int \sec ^{2}x\,dx={\mbox{tg }}x+C}$
• ${\displaystyle \int {\mbox{cossec}}^{2}x\,dx=-{\mbox{cotg }}x+C}$
• ${\displaystyle \int {\mbox{sen}}^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x-{\mbox{sen }}x\cos x)+C}$
• ${\displaystyle \int \cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x+{\mbox{sen }}x\cos x)+C}$

Funções Hiperbólicas[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Lista de integrais de funções hiperbólicas

• ${\displaystyle \int {\mbox{senh }}x\,dx=\cosh x+C}$
• ${\displaystyle \int \cosh x\,dx={\mbox{senh }}x+C}$
• ${\displaystyle \int {\mbox{tgh }}x\,dx=\ln(\cosh x)+C}$
• ${\displaystyle \int {\mbox{cossech}}\,x\,dx=\ln \left|{\mbox{tgh }}{x \over 2}\right|+C}$
• ${\displaystyle \int {\mbox{sech}}\,x\,dx={\mbox{arctg }}({\mbox{senh }}x)+C}$
• ${\displaystyle \int {\mbox{cotgh }}x\,dx=\ln |{\mbox{senh }}x|+C}$

Integrais Impróprias^{[carece de fontes]}[editar | editar código-fonte]

• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{\sqrt {x}}\,e^{-x}\,dx}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{e^{-x^{2}}\,dx}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\,dx}={\frac {\pi ^{4}}{15}}}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}}$

Funções Especiais[editar | editar código-fonte]

• Função gama: ${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }x^{z-1}\,e^{-x}\,dx}$^[12]
• Função erro: ${\displaystyle {\text{erf}}(x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}dt}$
• Logaritmo integral: ${\displaystyle {\text{Li}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {dx}{\ln x}}}$
• Integral elíptica de primeiro tipo: ${\displaystyle F(a,\theta )=\int _{0}^{{\text{sen }}\theta }{\frac {dx}{\sqrt {(1-x^{2})(1-a^{2}x^{2})}}}}$
• Seno integral: ${\displaystyle {\text{Si}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {{\text{sen }}t}{t}}dt}$
• Cosseno integral: ${\displaystyle {\text{Ci}}(x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {{\text{cos}}t}{t}}dt}$