A aritmética (da palavra grega ἀριθμός, arithmós[Nota 1] , "número") é o ramo da matemática que lida com números e com as operações possíveis entre eles. É o ramo mais antigo e mais elementar da matemática, usado por quase todos, seja em tarefas do cotidiano, em cálculos científicos ou de negócios. Matemáticos profissionais, por vezes, usam o termo "aritmética superior"[1] quando se refere a resultados mais avançados relacionados à teoria dos números, mas isso não deve ser confundido com a aritmética elementar. Resumidamente são as quatro operações matemáticas, ou seja, adição, subtração, multiplicação e divisão.
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[esconder]História[editar | editar código-fonte]
Ver artigo principal: História da aritmética
A pré-história da aritmética é limitada a um pequeno número de artefatos que podem indicar a concepção de adição e subtração, o mais conhecido sendo o osso de Ishango da África Central, que data de algum lugar entre 20.000 e 18.000 a.C., embora sua interpretação seja contestada.[2]
Os primeiros registros escritos indicam que os egípcios e babilônios usavam todas as operações aritméticas elementares tão cedo quanto 2000 a.C. Esses artefatos nem sempre revelam o processo específico usado para resolver problemas, mas as características do sistema de numeração em particular influenciaram fortemente a complexidade dos métodos. O sistema de hieróglifos para numerais egípcios, como os numerais romanos posteriores, descendem de marcas de contagem, usadas para contar.[3] Em ambos os casos, esta origem resultou em valores que usavam uma base decimal, mas não incluiam a notação posicional. Cálculos complexos com algarismos romanos exigiram o auxílio de uma placa de contagem ou o ábaco romano para obter os resultados.[4]
Sistemas de numeração mais antigos, que tinham notação posicional não eram decimais, incluindo o sistema de base 60 sexagesimal dos babilônios.[3] [5] Os Maias mais a frente, usaram o sistema de (base 20) que definiu o sistema de numeração Maia. Devido a este conceito lugar-valor, a capacidade de reutilizar os mesmos dígitos para diferentes valores contribuíram para métodos mais simples e mais eficientes de cálculo. O desenvolvimento histórico contínuo da aritmética moderna começa com acivilização helenística da Grécia antiga, embora tenha se originado muito mais tarde do que os exemplos dos babilônios e os do Egito.[6] Antes das obras de Euclides por volta de 300 aC, os estudos gregos em matemática sobrepunham convicções filosóficas e místicas. Por exemplo, Nicômaco resumiu o ponto de vista da abordagem aos números dos primeiros pitagóricos, e suas relações uns com os outros, em suaArithmetike eisagoge (Introdução à aritmética).
Os numerais gregos, derivaram a partir do sistema hierático egípcio, também carecendo de notação posicional, e, portanto, com a mesma complexidade imposta sobre as operações básicas de aritmética. Por exemplo, o matemático antigo Arquimedes dedicou toda a sua obra Αρχιμήδης Ψαµµίτης (Archimedes Psammites - O calculista de areia) apenas para elaboração de uma notação para um certo inteiro grande.
O desenvolvimento gradual dos algarismos indo-arábicos de forma independente criou o conceito de lugar de valor e notação posicional, que combinou os métodos mais simples para cálculos com a base decimal e o uso de um dígito representando o zero. Isto permitiu que o sistema representasse de forma consistente ambos inteiros grandes e pequenos. Esta abordagem, eventualmente substituiu todos os outros sistemas. No início do século 6 dC, o matemático indiano Aryabhata incorporou uma versão existente do sistema em seu trabalho, e o experimentou com notações diferentes. No século 7, Brahmagupta estabeleceu o uso de zero como um número separado e determinou os resultados para multiplicação, divisão, adição e subtração de zero por todos os outros números, com exceção do resultado da divisão por zero.[7] Seu contemporâneo, o bispo siríaco Severus Sebokht descreveu a excelência deste sistema como "... métodos valiosos de cálculo que ultrapassam a descrição". Os árabes também aprenderam este novo método e chamaram-lhe hesab.
Embora o Codex Vigilanus tenha descrito uma forma primitiva de algarismos arábicos (omitindo o zero) em 976 dC, Fibonacci foi o principal responsável por espalhar a sua utilização em toda a Europa após a publicação do seu livro Liber Abaci em 1202. Ele considerou a importância desta "nova" representação dos números, que ele intitulou o "Método dos índios" (em latim Indorum Modus), tão fundamental, que todos os fundamentos matemáticos relacionados, incluindo os resultados de Pitágoras e o algorism descrevendo os métodos para a realização de cálculos reais, eram "quase um erro", em comparação.
Na Idade Média, a aritmética era uma das sete artes liberais ensinadas nas universidades.
O florescimento da álgebra no mundo medieval islâmico e na Europa renascentista, foi uma conseqüência da simplificação enorme de computação através de notação decimal.
Vários tipos de ferramentas existem para auxiliar em cálculos numéricos. Exemplos incluem réguas de cálculo (para a multiplicação, divisão e trigonometria) e nomogramas, além da calculadora eletrônica.
Operações Aritméticas[editar | editar código-fonte]
As operações aritméticas tradicionais são a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão, embora operações mais avançadas (tais como as manipulações de porcentagens, raiz quadrada, exponenciação e funções logarítmicas) também sejam por vezes incluídas neste ramo. A aritmética desenrola-se em obediência a uma ordem de operações.
A aritmética abrange o estudo de algoritmos manuais para a realização de operações com os números naturais, inteiros, racionais (na forma de frações) e reais. Tais operações, no entanto, podem ser realizadas com o uso de ferramentas como calculadoras, computadores ou o ábaco, o que não lhes tira o carácter aritmético.
Teoria dos Números[editar | editar código-fonte]
O termo aritmética também é usado em referência à teoria dos números. Isto inclui as propriedades dos inteiros relacionados com a primalidade, a divisibilidade[8] e a solução de equações em inteiros, bem como a pesquisa moderna que tem surgido deste estudo. É neste contexto que se pode encontrar coisas como o teorema fundamental da aritmética e funções aritméticas. O livro A Course in Arithmetic de Jean-Pierre Serre reflete esse uso,[9] assim como frases como a aritmética de primeira ordem ou geometria algébrica aritmética.
Aritmética na Educação[editar | editar código-fonte]
O Ensino primário em matemática, muitas vezes coloca um forte foco em algoritmos para a aritmética de números naturais, inteiros, frações, e decimais (usando o sistema local de valor decimal). Este estudo é por vezes conhecido como algorism.
O aparecimento de dificuldades e a desmotivação destes algoritmos há muito levou os educadores a questionar este currículo, defendendo o ensino precoce das ideias matemáticas mais centrais e intuitivas. Um movimento notável neste sentido foi a Matemática Moderna dos anos 1960 e 1970, que tentou ensinar aritmética, no espírito de desenvolvimento axiomático da teoria dos conjuntos, um eco da tendência prevalecente na matemática superior.[10]
Notas[editar | editar código-fonte]
- ↑ O termo 'aritmética' (português) provém do grego 'arithmós', que se refere aos números, enquanto o prefixo 'ar_' implica reunir, isto é, aritmética é a ciência que reúne - soma, subtrai, multiplica, divide - números. Trata-se, portanto, da parte da matemática que estuda as operações numéricas e, por extensão de sentido, significa tudo que pressupõe um cálculo qualquer.
Referências
- ↑ Davenport, Harold. The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers. 7ª ed. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1999. ISBN 0-521-63446-
- ↑ Rudman, Peter Strom. How Mathematics Happened: The First 50,000 Years. Amherst, New York: Prometheus Books, 20007. p. 64. ISBN 978-1591024774
- ↑ a b Ifrah, Georges. História Universal dos Algarismos: A Inteligência dos Homens Contada pelos Números e pelo Cálculo. Rio de Janeiro: Nova Fronteira. 735 p. p. 162-180;346-354;404-409. 2 vol. vol. 1. ISBN 85-209-0841-1
- ↑ Gonick, Larry. Introdução Ilustrada à Computação. São Paulo: Harper & Row do Brasil, 1984. 242 p. p. 34-35.
- ↑ Souza, Júlio Cesar de Mello e (Malba Tahan). Matemática Divertida e Curiosa. 4ª ed. Rio de Janeiro: Record. 158 p. p. 22-23. ISBN 85-01-03375-8
- ↑ Karlson, Paul. A Magia dos Números. Porto Alegre: Globo, 1961. Capítulo: Os Gregos. , 608 p. p. 80-154.
- ↑ Plofker, Kim (autor do capítulo);Katz, Victor J. (editor). The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. New Jersey: Princeton University Press, 2007. Capítulo: Mathematics in India. , 712 p. ISBN 978-0-69111485-9
- ↑ Alencar Filho, Edgard de. Teoria Elementar dos Números. 3ª ed. São Paulo: Nobel, 1992. 386 p. p. 68-83;116-136. ISBN 85-213-0040-9
- ↑ Serre, Jean-Pierre. A Course in Arithmetic (em inglês). New York: Springer, 1973. 115 p. ISBN 978-0-38790040-7
- ↑ Navarro, Joaquin. A Nova Matemática. Rio de Janeiro: Salvat, 1979. 143 p. p. 21-62;84. ISBN 84-401-053
Progressão aritmética
Propriedades úteis na resolução de problemas
Michele Viana Debus de França*
Especial para a Página 3 Pedagogia & ComunicaçãoAs progressões aritméticas (PA) possuem algumas propriedades que são bastante úteis na resolução de problemas, principalmente alguns propostos nos vestibulares.4-7
1ª propriedade: soma dos termos eqüidistantes.
Numa PA, os termos opostos, ou eqüidistantes, ou seja, os que estão à mesma distância do termo central da PA, têm a mesma soma.
2ª propriedade: média aritmética.
Observe a PA infinita (3, 10, 17, 24, 31, 38, ...).
Se tomarmos três de seus termos:
e fizermos, ou seja, se tirarmos a média aritmética dos termos "da ponta", obteremos
,
que é o termo do meio.
E isso também acontece para quaisquer três termos consecutivos da PA.
No caso de uma PA com um número ímpar de termos, essa propriedade vale para termos opostos:
Há também duas observações que não consideradas propriedades, mas facilitam a resolução de problemas.
1ª observação: PAs desconhecidas de 3, 4, ou 5 termos.
Sempre que um exercício se referir a uma PA desconhecida com 3, 4 ou 5 termos é útil utilizar:
3 termos - (x - r, x, x + r)
4 termos - (x - 3r, x - r, x + r, x + 3r)
5 termos - (x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r)
Assim, evita-se o uso de muitas incógnitas, pois o natural seria utilizar a, b, c, d, e para os termos desconhecidos.
2ª observação: decompor os termos em função do 1º termo e da razão.
Em problemas que se referem a termos aleatórios de uma PA, por exemplo,, é útil diminuir o número de incógnitas, decompondo esses termos por meio da fórmula do termo geral.
Assim, utiliza-seno lugar de
no lugar de
.
Exercícios resolvidos
1) Achar a razão da PA (x, 2x + 5, 32).
Nesse caso, utilizaremos a propriedade da média aritmética para resolver o problema.
Assim, sabemos que.
Resolvendo a equação, temos:
Logo, a PA é.
E sua razão é.
2) Sabe-se que, numa PA,. Determine-a.
Utilizaremos a 2ª observação para resolver esse problema.
Note que, ao invés de 4 incógnitas, temos agora apenas duas!
Assim,
Temos o sistema:
Subtraindo a segunda da primeira equação, obtemos:
-2r = -6
r = 3.
Substituindo r na primeira igualdade, acharemos a1:
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