NUMERO REAL

O conjunto dos números reais ${\displaystyle \mathbb {R} \,}$ é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais.^[1][2]

Os números reais são números usados para representar uma quantidade contínua (incluindo o zero e os negativos). Pode-se pensar num número real como uma fração decimal possivelmente infinita, como 3,141592(...). Os números reais têm uma correspondência biunívoca com os pontos de uma reta.

Um Número Real é um valor que representa uma quantidade ao longo de uma linha contínua, incluindo tanto os Números Racionais quanto os Números Irracionais. Os números reais são pontos sobre uma linha reta infinita, chamada de Reta Numérica ou Reta Real, onde os pontos correspondentes aos Números Inteiros são igualmente espaçados.

Os números reais são incontáveis, isto é, enquanto que o conjunto de todos os Números Naturais e o conjunto de todos os Números Reais são conjuntos infinitos, não é possível haver função de um-pra-um entre eles. A cardinalidade do conjunto de todos os Números Reais é infinitamente maior do que a cardinalidade do conjunto de todos os Números Naturais.

Denomina-se corpo dos números reais a coleção dos elementos pertencentes à conclusão dos racionais,^[3] formado pelo corpo de fraçõesassociado aos inteiros (números racionais) e a norma associada ao infinito.

Existem também outras conclusões dos racionais, uma para cada número primo p, chamadas números p-ádicos. O corpo dos números p-ádicos é formado pelos racionais e a norma associada ..

Índice

• 1Localização Geométrica dos pontos da reta
• 2Ordenação dos números reais
• 3Intervalos encaixantes e evanescentes
  • 3.1Intervalo encaixante
  • 3.2Intervalo evanescente
• 4Adição de números reais
  • 4.1Adição de reais positivos
  • 4.2Adição de reais negativos
  • 4.3Adição de reais de sinais opostos
• 5Multiplicação de números reais
  • 5.1Multiplicação de reais positivos
  • 5.2Multiplicação por real negativo
• 6Propriedades
• 7Extensões
• 8Referências
• 9Leitura adicional

Localização Geométrica dos pontos da reta[editar | editar código-fonte]

Um eixo cartesiano é uma reta euclidiana na qual foram escolhidas uma orientação e uma unidade de medida, ou seja, é formado por uma reta euclidiana ${\displaystyle r}$, e pela escolha de dois pontos distintos sobre ela, denotados por ${\displaystyle O}$ e ${\displaystyle U}$, sendo ${\displaystyle O}$ a origem do eixo e ${\displaystyle U}$ o ponto unitário do eixo. O ponto ${\displaystyle U}$ serve para determinar uma unidade de medida para os segmentos de reta do eixo, e também determina um sentido de percurso para o segmento. O sentido de percurso do eixo que vai de ${\displaystyle O}$ para ${\displaystyle U}$ (${\displaystyle OU}$) é chamado de sentido positivo, enquanto que o sentido oposto (${\displaystyle U}$${\displaystyle O}$), é chamado de sentido negativo. Observação:Denotando por ${\displaystyle (r,O,U)}$ o eixo determinado pela reta ${\displaystyle r}$, pela origem ${\displaystyle O}$ e pelo ponto unitário ${\displaystyle U}$, fia subentendido que isto determina ${\displaystyle OU}$ como unidade de medida.

Ordenação dos números reais[editar | editar código-fonte]

A expansão decimal de um número absoluto nos diz até quantas unidades, décimos, centésimos, etc., cabem no mesmo. Em particular, dado um real absoluto ${\displaystyle x=m,a_{1}a_{2}a_{3}...}$, podemos escrever:

${\displaystyle \qquad }$${\displaystyle m,a_{1}a_{2}a_{3}...a_{n}\leq x\leq m,a_{1}a_{2}a_{3}...a_{n}+{1 \over 10^{n}}}$ Assim, pode-se dizer que a definição da expansão decimal traz uma relação de ordem entre o real absoluto ${\displaystyle x}$ e os números racionais que se obtém truncando sua expansão decimal. Isso permite estabelecer uma relação de ordem entre dois reais absolutos quaisquer, a partir da comparação entre as respectivas expansões decimais. Dados dois números reais absolutos distintos, ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$, escrevemos suas expansões decimais:

${\displaystyle \qquad }$${\displaystyle x=m,a_{1}a_{2}a_{3}...}$

${\displaystyle \qquad }$${\displaystyle y=M,b_{1}b_{2}b_{3}...}$ Para definirmos quem é o maior numero entre ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$, iniciamos comparando ${\displaystyle m}$ com ${\displaystyle M}$. -Se ${\displaystyle m<M}$, então sabemos que ${\displaystyle x}$ é menor que ${\displaystyle y}$, ou seja, ${\displaystyle x<y}$ -Se ${\displaystyle M<m}$, então sabemos que ${\displaystyle y}$ é menor que ${\displaystyle x}$, ou seja ${\displaystyle y<x}$ -Se ${\displaystyle m=M}$, estão é necessário comparar ${\displaystyle a_{1}}$ com ${\displaystyle b_{1}}$. Se ${\displaystyle a_{1}<b_{1}}$, então ${\displaystyle x<y}$, e se ${\displaystyle b_{1}<a_{1}}$, então ${\displaystyle y<x}$. No caso de ${\displaystyle a_{1}=b_{1}}$, ou seja, ${\displaystyle m=M}$ e ${\displaystyle a_{1}=b_{1}}$, compara-se ${\displaystyle a_{2}}$ com ${\displaystyle b_{2}}$, aplicando os mesmos critérios anteriores, sucessivamente até chegar a uma conclusão ${\displaystyle a_{n}\neq b_{n}}$, caso ${\displaystyle x\neq y}$.

Intervalos encaixantes e evanescentes[editar | editar código-fonte]

Intervalo encaixante[editar | editar código-fonte]

Dada a sequência ${\displaystyle X_{n}=[a_{n},b_{n}]}$ de intervalos fechados tais que ${\displaystyle X_{1}\supseteq X_{2}\supseteq X_{3}\supseteq ...X_{n}\supseteq X_{n+1}\supseteq ...}$, existe pelo menos um ponto ${\displaystyle C\in \mathbb {R} }$ que pertence a todos os intervalos, isto é, ${\displaystyle C}$ pertence a interseção e todos os intervalos.

A propriedade dos intervalos encaixantes expressa a ideia de que ${\displaystyle \mathbb {R} }$ não tem buracos, pois se existisse, cercando-o cada vez mais de perto por números ${\displaystyle a_{n}<b_{n}}$, obteríamos uma sequência de intervalos fechados ${\displaystyle X_{n}=[a_{n},b_{n}]}$ com interseção vazia.

Intervalo evanescente[editar | editar código-fonte]

Uma sequência (infinita) de segmentos da reta ${\displaystyle X_{1},X_{2}...X_{n},X_{n+1}...}$ é evanescente se for encaixante, e se para cada segmento de reta ${\displaystyle AB}$(não reduzido a um único ponto) que escolhermos, sempre pudermos encontrar um ${\displaystyle n}$ tal que o n-ésimo segmento da sentença satisfaça:

${\displaystyle \qquad }$ ${\displaystyle X_{n}<AB}$

Sempre que ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3}...}$ for uma sequência evanescente de segmentos de reta, podemos afirmar que existe exatamente um ponto comum a todos os segmentos da sequência. Intuitivamente este postulado ou axioma diz que a reta euclidiana é "contínua", isto é, não tem "buracos".

Adição de números reais[editar | editar código-fonte]

Adição de reais positivos[editar | editar código-fonte]

Dados ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ números reais positivos, com expansões decimais

${\displaystyle \qquad }$${\displaystyle x=m,a_{1}a_{2}a_{3}...}$

${\displaystyle \qquad }$${\displaystyle y=M,b_{1}b_{2}b_{3}...}$

sejam, para cada ${\displaystyle n\geq 1}$, os números racionais

${\displaystyle \qquad }$${\displaystyle x_{n}=m,a_{1},a_{2}...a_{n}}$ e ${\displaystyle y_{n}=M,b_{1},b_{2}...b_{n}}$.

A adição dos números reais ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ produz uma soma, denotada por ${\displaystyle x+y}$, e definida como sendo o único número real comum a todos elementos da sequência de intervalos encaixantes e evanescentes:

${\displaystyle \qquad }$${\displaystyle [x_{n}+y_{n},x_{n}+y_{n}+{2 \over 10^{n}}]}$

Essa definição nos fornece aproximações racionais de ${\displaystyle x+y}$ tão precisas quanto quisermos. Basta notar que ${\displaystyle x_{n}+y_{n}}$ e ${\displaystyle x_{n}+y_{n}+{2 \over 10^{n}}}$ são aproximações racionais ,por falta e por excesso, do número real ${\displaystyle x+y}$, e que o "erro" pode ser menor o quanto quisermos.

Adição de reais negativos[editar | editar código-fonte]

A adição de dois números reais negativos produz uma soma ${\displaystyle x+y}$ que é obtida por meio da adição dos módulos de ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$:

${\displaystyle \qquad }$${\displaystyle x+y=-(\left\vert x\right\vert +\left\vert y\right\vert )}$

Por exemplo, para ${\displaystyle x=-2,79323189}$ e ${\displaystyle y=-13,83452153}$:

${\displaystyle \qquad }$${\displaystyle \quad }$${\displaystyle x+y=-(\left\vert -2,79323189\right\vert +\left\vert -13,83452153\right\vert )}$

${\displaystyle \qquad }$${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle x+y=-(2,79323189+13,83452153)}$

${\displaystyle \qquad }$${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle x+y=-16,62775342}$

Adição de reais de sinais opostos[editar | editar código-fonte]

Dados ${\displaystyle x}$ um número real positivo e ${\displaystyle y}$ um número real negativo, com expansões decimais:

${\displaystyle \qquad }$${\displaystyle x=m,a_{1}a_{2}a_{3}...}$

${\displaystyle \qquad }$${\displaystyle y=-M,b_{1}b_{2}b_{3}...}$

Sejam os números racionais:

${\displaystyle \qquad }$${\displaystyle x_{n}=m,a_{1}a_{2}...a_{n}}$ e ${\displaystyle \left\vert y\right\vert _{n}=M,b_{1}b_{2}...b_{n}}$

A adição de um número real positivo ${\displaystyle x}$ e o real negativo ${\displaystyle y}$ produz uma soma, denotada por ${\displaystyle x+y}$, e definida como sendo o único número real comum a todos os elementos da sequência de intervalos encaixante e evanescente:

${\displaystyle \qquad }$${\displaystyle {\Biggl [}x_{n}-\left\vert y\right\vert _{n}-{1 \over 10^{n}},x_{n}-\left\vert y\right\vert _{n}+{1 \over 10^{n}}{\Biggr ]}}$

Exemplo:

Ao somar ${\displaystyle 1,222...+(-2,111)}$, obtemos:

${\displaystyle \qquad }$${\displaystyle x_{1}-\left\vert y\right\vert _{1}=1,2-2,1=-0,9\Rightarrow [-1,0;-0,8]}$

${\displaystyle \qquad }$${\displaystyle x_{2}-\left\vert y\right\vert _{2}=1,22-2,11=-0,89\Rightarrow [-0,90;-0,88]}$

${\displaystyle \qquad }$${\displaystyle x_{3}-\left\vert y\right\vert _{3}=1,222-2,111=-0,889\Rightarrow [-0,890;-0,888]}$

${\displaystyle \qquad }$${\displaystyle x_{4}-\left\vert y\right\vert _{4}=1,2222-2,1110=-0,8888\Rightarrow [-0,8889;-0,8887]}$

e prosseguindo semelhantemente, temos uma sequência encaixante e evanescente.

Multiplicação de números reais[editar | editar código-fonte]

Multiplicação de reais positivos[editar | editar código-fonte]

Dados ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ números reais positivos, com expansões decimais

${\displaystyle \qquad }$${\displaystyle x=m,a_{1}a_{2}...}$

${\displaystyle \qquad }$${\displaystyle y=M,b_{1}b_{2}...}$

Seja, para cada${\displaystyle n\geq 1}$, os números racionais

${\displaystyle x_{n}=m,a_{1}a_{2}...a_{n}}$ e ${\displaystyle y_{n}=M,b_{1}b_{2}...b_{n}}$

A multiplicação dos números ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ produz um resultado chamado produto, denotado por ${\displaystyle x\centerdot y}$, é definido como sendo o único número real comum a todos os elementos da sequência de intervalos encaixante e evanescente:

${\displaystyle {\Bigl [}x_{n}y_{n},{\Bigl (}x_{n}+{1 \over 10^{n}}{\Bigr )}{\Bigl (}y_{n}+{1 \over 10^{n}}{\Bigr )}{\Bigr ]}}$

Exemplo:

${\displaystyle \qquad }$${\displaystyle 7\centerdot {\frac {3}{7}}=3}$

${\displaystyle \qquad }$${\displaystyle x_{1}y_{1}=7,0\centerdot 0,4=2,8}$ e ${\displaystyle 7,1\centerdot 0,5=3,55\Rightarrow [2,8;3,55]}$

${\displaystyle \qquad }$${\displaystyle x_{2}y_{2}=7,00\centerdot 0,42=2,94}$ e ${\displaystyle 7,01\centerdot 0,43=3,0143\Rightarrow [2,94;3,0143]}$

${\displaystyle \qquad }$${\displaystyle x_{3}y_{3}=7,000\centerdot 0,428=2,996}$ e ${\displaystyle 7,001\centerdot 0,429=3,003429\Rightarrow [2,996;3,003429]}$

${\displaystyle \qquad }$${\displaystyle x_{4}y_{4}=7,0000\centerdot 0,4285=2,9995}$ e ${\displaystyle 7,0001\centerdot 0,4286=3,00024286\Rightarrow [2,9995;3,00024286]}$

Multiplicação por real negativo[editar | editar código-fonte]

Dados ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ dois números reais, sendo ao menos algum deles negativo

${\displaystyle \qquad }$${\displaystyle x=m,a_{1}a_{2}...}$

${\displaystyle \qquad }$${\displaystyle y=M,b_{1}b_{2}...}$

O produto ${\displaystyle x\centerdot y}$ é definido como sendo o único número real comum a todos os elementos da sequência de intervalos encaixante e evanescente,

${\displaystyle {\Bigl [}x_{n}y_{n},{\Bigl (}x_{n}+{1 \over 10^{n}}{\Bigr )}{\Bigl (}y_{n}-{1 \over 10^{n}}{\Bigr )}{\Bigr ]}}$

segundo as seguintes possibilidades lógicas:

• Se ${\displaystyle x\geq 0}$ e ${\displaystyle y<0}$, temos: ${\displaystyle x\centerdot y=-(x\centerdot |y|)}$
• Se ${\displaystyle x<0}$ e ${\displaystyle y\geq 0}$, temos: ${\displaystyle x\centerdot y=-(|x|\centerdot y)}$
• Se ${\displaystyle x<0}$ e ${\displaystyle y<0}$, temos: ${\displaystyle x\centerdot y=|x|\centerdot |y|}$

Exemplo:

${\displaystyle \qquad }$${\displaystyle 7\centerdot {\Bigl (}-{\frac {3}{7}}{\Bigr )}=-3}$

${\displaystyle \qquad }$${\displaystyle x_{1}y_{1}=7,0\centerdot (-0,4)=-2,8}$ e ${\displaystyle 7,1\centerdot (-0,5)=-3,55\Rightarrow [-2,8;-3,55]}$

${\displaystyle \qquad }$${\displaystyle x_{2}y_{2}=7,00\centerdot (-0,42)=-2,94}$ e ${\displaystyle 7,01\centerdot (-0,43)=-3,0143\Rightarrow [-2,94;-3,0143]}$

${\displaystyle \qquad }$${\displaystyle x_{3}y_{3}=7,000\centerdot (-0,428)=-2,996}$ e ${\displaystyle 7,001\centerdot (-0,429)=-3,003429\Rightarrow [-2,996;-3,003429]}$

${\displaystyle \qquad }$${\displaystyle x_{4}y_{4}=7,0000\centerdot (-0,4285)=-2,9995}$ e ${\displaystyle 7,0001\centerdot (-0,4286)=-3,00024286\Rightarrow [-2,9995;-3,00024286]}$

Propriedades[editar | editar código-fonte]

O conjunto dos números reais com as operações binárias de soma e produto e com a relação natural de ordem formam um corpo ordenado. Além das propriedades de um corpo ordenado, ${\displaystyle \mathbb {R} \,}$ tem a seguinte propriedade:

• Se ${\displaystyle \mathbb {R} \,}$ for dividido em dois conjuntos (uma partição) A e B, de modo que todo elemento de A é menor que todo elemento de B, então existe um elemento x que separa os dois conjuntos, ou seja, x é maior ou igual a todo elemento de A e menor ou igual a todo elemento de B

${\displaystyle \forall A,B,(\mathbb {R} =A\cup B\land (\forall a\in A,b\in B,(a<b))\implies (\exists x,(\forall a\in A,b\in B\implies a\leq x\leq b))\,}$

Nas palavras de Dedekind:^[4]

Se todos os pontos da reta são divididos em duas classes, tal que todo ponto da primeira classe está à esquerda de todo ponto da segunda classe, então existe um, e apenas um, ponto que causa esta divisão de todos os pontos em duas classes, este corte da reta em duas porções. (...) Assumir esta propriedade da linha não é nada além do que o axioma pelo qual consideramos a reta contínua.

Formalmente:^[5]

${\displaystyle \forall A,B\ ((\forall x\ ((x\in A\land x\not \in B)\lor (x\in B\land x\not \in A))\ \land \ \forall x\in A\ \forall y\in B\ (x\leq y))\rightarrow \,}$

${\displaystyle (\exists z\in A\ \forall w\in A(w\leq z)\lor \exists z\in B\ \forall w\in B(z\leq w)))\,}$

Extensões[editar | editar código-fonte]

• O corpo dos números complexos é a única extensão algébrica do corpo ${\displaystyle \mathbb {R} \,}$.
• Não existe nenhuma extensão própria de ${\displaystyle \mathbb {R} \,}$ que seja um corpo Arquimediano.
• Uma extensão transcendente de ${\displaystyle \mathbb {R} \,}$ pode ser construída tomando-se o corpo de frações gerado pelo anel de polinômios reais. Neste corpo pode ser definida uma relação de ordem, de forma que a inclusão de ${\displaystyle \mathbb {R} \,}$ neste corpo seja um isomorfismo de corpos ordenados entre ${\displaystyle \mathbb {R} \,}$ e sua imagem. Obviamente, neste corpo existem elementos maiores que qualquer racional, cujos inversos são números positivos menores que qualquer racional positivo (infinitésimos).
• O corpo ordenado dos números hiperreais estende ${\displaystyle \mathbb {R} \,}$, incluindo números infinitesimais.
• Pode-se acrescentar os dois elementos ${\displaystyle -\infty {\mbox{ e }}\infty \ {\mbox{ a }}\mathbb {R} \,}$, obtendo-se os números reais estendidos. Este conjunto, porém, não é um corpo, porque a soma e a multiplicação não são operações binárias (por exemplo, não existe uma definição satisfatória de ${\displaystyle [(-\infty )+\infty \,}$].

Outros projetos Wikimedia também contêm material sobre este tema:
	Livros e manuais no Wikilivros

Referências

1. Ir para cima↑ Ailton Feitosa. «Números Reais». InfoEscola. Consultado em 02 de março de 2014.
2. Ir para cima↑ Marcos Noé. «Números Reais». R7. Brasil Escola. Consultado em 02 de março de 2014.
3. Ir para cima↑ Durão Judice, Edson. Introdução à álgebra linear. Instituto de Minas Gerais, 1960. pp. 220.
4. Ir para cima↑ Richard Dedekind, Continuity and irrational numbers (seção V, subseção VI) (1872), citado por Jim Propp, Dedekind's forgotten axiom and why we should teach it (and why we shouldn't teach mathematical induction in our calculus classes) [em linha]
5. Ir para cima↑ Winfried Just, Martin Weese, Discovering Modern Set Theory: The basics (1996), p.86 [google books]

Leitura adicional[editar | editar código-fonte]

• Georg Cantor, 1874, "Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, volume 77, páginas 258–262.
• Solomon Feferman,1989, The Numbers Systems: Foundations of Algebra and Analysis, AMS Chelsea, ISBN 0-8218-2915-7.
• Robert Katz, 1964, Axiomatic Analysis, D. C. Heath and Company.
• Edmund Landau, 2001, ISBN 0-8218-2693-X, Foundations of Analysis, American Mathematical Society.
• Howie, John M., Real Analysis, Springer, 2005, ISBN 1-85233-314-6
• Schumacher, Carol (1996). ChapterZero / Fundamental Notions of Abstract Mathematics (em inglês) Addison-Wesley [S.l.] ISBN 0-201-82653-4.

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