OSCILADOR ARMO NICO

Oscilador harmônico, em Física, é qualquer sistema que apresenta movimento harmônico de oscilação. É dito oscilador pelo fato de alguma entidade física oscilar, isto é, mover-se de algum modo, num movimento de vai-vem, em torno de uma posição central. Chama-se harmônico por ser o seu movimento caracterizado e descrito por umafunção harmônica do tempo.

Índice

• 1Classificação
• 2Em física clássica
  • 2.1Mecânica clássica
  • 2.2Eletromagnetismo clássico
• 3Oscilador harmônico simples
• 4Oscilador harmônico amortecido
• 5Oscilador Harmônico Forçado
• 6Análise do oscilador harmônico amortecido pela Transformada de Laplace
• 7Ver também
• 8Referências

Classificação[editar | editar código-fonte]

Pode ser definido em Física clássica, bem como em Física quântica relativística. Pode ser de um dos tipos:

1. oscilador harmônico simples (que não é forçado nem amortecido) (amortecimento);
2. oscilador harmônico complexo, (que é forçado e/ou amortecido):
   1. oscilador harmônico apenas forçado; ou
   2. oscilador harmônico apenas amortecido; ou
   3. oscilador harmônico forçado e amortecido;

Conquanto osciladores harmônicos simples sejam tão-somente uma idealização físico-matemática, seu estudo justifica-se pelo fato prático imensamente importante de, em muitos casos de análises reais de osciladores harmônicos complexos, ser possível e até conveniente a redução ao tratamento como se fossem daquele tipo ideal. Isso representa enormes ganhos em vários aspectos.

Todavia, a rigor, cada tipo requer tratamento físico-matemático específico.

Em física clássica[editar | editar código-fonte]

Mecânica clássica[editar | editar código-fonte]

Em física clássica — primeiramente em mecânica clássica — um oscilador harmônico corresponde a um sistema que quando tirado da posição de equilíbrio apresenta uma força restauradora F proporcional ao deslocamento x de acordo com a Lei de Hooke:

${\displaystyle F=-kx\,}$

onde k é uma constante positiva, dita constante elástica.

Se F for a única força atuando no sistema, o sistema será chamado de oscilador harmônico simples. É caracterizado por um movimento de "vai-e-vem" e seu deslocamento é uma função senoidal do tempo. É característica desse sistema a amplitude constante e frequência constante.

Se houver uma força de atrito que contraria o movimento dize-se um oscilador harmônico amortecido. Nessa situação a frequência de oscilações é menor que no oscilador sem amortecimento, além de a amplitude das oscilações diminuir conforme o tempo.

Caso haja uma força externa dependente do tempo dize-se que se trata de um oscilador harmônico forçado.

Finalmente, se comparecem tanto a força externa como o atrito interno, tem-se o caso do oscilador harmônico forçado e amortecido.

Exemplos de osciladores harmônicos são pêndulos, massas ligadas a molas, vibrações acústicas, além de vários outros.

Eletromagnetismo clássico[editar | editar código-fonte]

Uma analogia interessante pode-se estabelecer entre os osciladores mecânicos clássicos forçados e amortecidos com o circuito elétrico RLC submetidos a uma fonte externa de energia elétrica, pois têm a mesma solução matemática (sua equação diferencial característica é de mesma forma e ordem).

Oscilador harmônico simples[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Oscilador harmônico simples

O oscilador harmônico simples é isolado de forças externas, além de não ter amortecimento algum. Então a única força que age é a força elástica da mola:

${\displaystyle F=-kx\,}$

Usando a 2ª Lei de Newton:

${\displaystyle F=ma=-kx\,}$

A aceleração a é igual a derivada segunda de x:

${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-kx}$

Se definirmos ${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}=k/m}$, então a solução poderá ser escrita do seguinte modo:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\omega _{0}}^{2}x=0}$

Podemos observar que:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}={\ddot {x}}={\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}}{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}}{\mathrm {d} x}}{\dot {x}}}$

Substituindo:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}}{\mathrm {d} x}}{\dot {x}}+{\omega _{0}}^{2}x=0}$

${\displaystyle \mathrm {d} {\dot {x}}\cdot {\dot {x}}+{\omega _{0}}^{2}x\cdot \mathrm {d} x=0}$

Integrando:

${\displaystyle {\dot {x}}^{2}+{\omega _{0}}^{2}x^{2}=K}$

onde K é uma constante, dado K = (A ω₀)²

${\displaystyle {\dot {x}}^{2}=A^{2}{\omega _{0}}^{2}-{\omega _{0}}^{2}x^{2}}$

${\displaystyle {\dot {x}}=\pm {\omega _{0}}{\sqrt {A^{2}-x^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\pm {\sqrt {A^{2}-x^{2}}}}}={\omega _{0}}\mathrm {d} t}$

Integrando dos dois lados (sendo φ a contante resultante da integração) teremos:

${\displaystyle {\begin{cases}\arcsin {\frac {x}{A}}=\omega _{0}t+\phi \\\arccos {\frac {x}{A}}=\omega _{0}t+\phi \end{cases}}}$

E assim teremos a solução geral para x :

${\displaystyle x=A\cos {(\omega _{0}t+\phi )}\,}$

Sendo que a amplitude ${\displaystyle A\,}$ e a fase inicial ${\displaystyle \phi \,}$ serão determinadas através das condições iniciais.

Do mesmo modo poderíamos escrever:

${\displaystyle x=A\sin {(\omega _{0}t+\phi )}\,}$

Entretanto agora ${\displaystyle \phi \,}$ está deslocado ${\displaystyle \pi /2\,}$ em relação a forma anterior.

Ou senão podemos escrever também:

${\displaystyle x=A\sin {\omega _{0}t}+B\cos {\omega _{0}t}\,}$

já que a que a soma de soluções de uma equação diferencial também é solução para a equação diferencial.

A frequência das oscilações será dada pela seguinte fórmula:

${\displaystyle \displaystyle f={\frac {\omega _{0}}{2\pi }}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}}$

Oscilador harmônico amortecido[editar | editar código-fonte]

Dependência do comportamento do sistema no valor da razão de amortecimento ζ

Um oscilador harmônico amortecido, que perde velocidade devido ao atrito

Outro oscilador harmônico amortecido

Em osciladores reais, atrito, ou amortecimento, diminui a velocidade do sistema^[1]. Devido à força de atrito, a velocidade diminui em proporção à força de atrito que atua. Enquanto o movimento harmônico simples oscila com apenas a força restaurativa agindo sobre o sistema, o oscilador harmônico amortecido experimenta (é sujeito a) atrito. Em muitos sistemas que vibram a força de atrito F_f pode ser modelada como sendo proporcional à velocidade v do objeto: F_f = −cv, onde c é chamada de coeficiente de amortecimento viscoso.

O equilíbrio de forças (Segunda lei de Newton) para osciladores harmônicos é, então,

${\displaystyle F=F_{ext}-kx-c{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}.}$

Quando nenhuma força extena está presente (isto é, quando ${\displaystyle F_{ext}=0}$), isto pode ser reescrito na forma

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{\,2}x=0,}$

onde

${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$ é chamada de 'freqüência angular não amortecida do oscilador' e

${\displaystyle \zeta ={\frac {c}{2{\sqrt {mk}}}}}$ é chamada de 'razão do amortecimento'.

Resposta de degrau para um oscilador harmônico amortecido; curvas são desenhadas para três valores de μ = ω₁ = ω₀√1−ζ². Tempo é em unidades de tempo de decaimento τ = 1/(ζω₀).

O valor da razão de amortecimento ζ determina criticamente o comportamento do sistema. Um oscilador harmônico amortecido pode ser:

• Superamortecido (ζ > 1): O sistema retorna (decai exponencialmente) para o estado estável sem oscilar. Valor maiores da razão de amortecimento ζ retornam ao equilíbrio mais devagar.
• Criticamente amortecido (ζ = 1): O sistema retorna para o estado estável tão rapidamente quanto possível sem oscilar. Isto é frequentemente desejado para o amortecimento sistemas como os de portas.
• Subamortecido (ζ < 1): O sistema oscila (com uma freqüência levement diferente que o do caso não amortecido) com a amplitude gradualmente descrescendo a zero. Avelocidade angular do oscilador harmônico subamortecido é dada por

${\displaystyle \omega _{1}=\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}.}$

O fator Q de um oscilador harmônico amortecido é definido como

${\displaystyle Q=2\pi \times {\frac {\text{Energia armazenada}}{\text{Energia perdida por ciclo}}}.}$

Q é relacionado à razão de amortecimento pela equação ${\displaystyle Q={\frac {1}{2\zeta }}.}$

Oscilador Harmônico Forçado[editar | editar código-fonte]

Oscilador Harmônico Forçado é um Oscilador Harmônico Amortecido sob ação de uma força externa F(t)^[2].

A Segunda Lei de Newton assume a seguinte forma:

${\displaystyle F(t)-kx-c{\frac {dx}{dt}}=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}}$

Que usualmente é reescrita na forma:

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {dx}{dt}}+\omega _{0}^{2}x={\frac {F(t)}{m}}}$

Esta equação têm solução exata para qualquer força, usando soluções z(t) que satisfaçam a equação não-forçada:

${\displaystyle {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {dz}{dt}}+\omega _{0}^{2}=0}$

E que possa ser expressa como a Oscilação Amortecida Sinusoidal

${\displaystyle z(t)=Ae^{-\zeta \omega _{0}t}\sin({\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\ \omega _{0}t+\phi )}$

No caso em que ζ ≤ 1, a amplitude A e a fase φ determinam o comportamento necessário para acertar as condições iniciais.

Análise do oscilador harmônico amortecido pela Transformada de Laplace[editar | editar código-fonte]

O oscilador harmônico é um sistema que pode ser resolvido de diversas maneiras e uma delas é por meio da Transformada de Laplace^[1]. A equação que define o movimento é obtida a partir da segunda lei de Newton:

${\displaystyle m{\vec {a}}=\sum _{i=1}^{n}{\vec {F_{i}}}}$

onde a = ${\displaystyle y''}$ é a aceleração e ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\vec {F_{i}}}}$ representa o somatório de todas as forças presentes.

As forças envolvidas são a força da mola F1 = ${\displaystyle -ky}$ e a força de atrito F2 = ${\displaystyle -uy'}$. Os termos ${\displaystyle k,u}$ e ${\displaystyle y'}$ representam a constante da mola, a constante de amortecimento e a velocidade do corpo preso a sua extremidade, respectivamente. Ao representar as forças no sistema na segunda lei de newton, obtemos:

${\displaystyle my''(t)=F1+F2=-ky(t)-uy'(t)}$

ou seja,

${\displaystyle my''(t)+ky(t)+uy'(t)=0}$

Condições iniciais são definidas para o sistema:

${\displaystyle y(0)=0}$

${\displaystyle y'(0)=0}$

A transformada de Laplace é aplicada para calcular ${\displaystyle y(t)}$:

${\displaystyle m}$${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{y''(t)}\right\}}$ + ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{y'(t)}\right\}}$ + ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{y(t)}\right\}}$ = 0

Aplicando as propriedades de Laplace, a equação resultante é:

${\displaystyle Y(s)={\frac {msy(0)+my'(0)+uy(0)}{ms^{2}+us+k}},}$

Para obter a expressão de ${\displaystyle y(t)}$ é necessário aplicar a transformada inversa:

${\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{{\frac {msy(0)+my'(0)+uy(0)}{ms^{2}+us+k}}}$}

Ver também[editar | editar código-fonte]

• Circuito elétrico RLC;
• Movimento;
• Movimento harmônico (física);
• Movimento periódico;

Referências

1. ↑ ^a b Equações Diferenciais [S.l.: s.n.] 2012. ISBN 978-85-221-1059-9. |nome1= sem |sobrenome1= em Authors list (Ajuda)
2. ↑ Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno 7 ed. LTC EDITORA [S.l.] 2002. ISBN 8521613121. |nome1= sem |sobrenome1= em Authors list (Ajuda); |nome2= sem |sobrenome2= em Authors list (Ajuda)

Categoria: 

• Mecânica clássica