SERIE

Em matemática, o conceito de série, ou ainda, série infinita, surgiu da tentativa de generalizar o conceito de soma para uma sequência de infinitos termos.

Esta generalização, longe de acontecer de forma impune, traz diversas dificuldades:

• nem sempre é possível definir um valor resultante da soma para uma série;
• não é possível em geral trocar a ordem dos termos da série;
• algumas séries possuem soma infinita.

Embora a ideia de soma infinita seja bastante antiga, uma formulação matemática rigorosa só veio a surgir no século XVIII, com o advento da análise real, que denota e define uma série de termos ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots }$da seguinte forma:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}:=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}a_{n}}$

A teoria das séries divergentes generaliza este conceito de soma para alguns casos quando este limite não existe.

Índice

• 1Um primeiro exemplo
• 2Notação
• 3Definição
• 4Aspectos históricos
• 5Classificação das séries quanto à convergência ^[1]
• 6Convergência e divergência de séries
  • 6.1Termos positivos
    • 6.1.1Teste da integral
    • 6.1.2Teste da comparação do limite (2º Critério de Comparação)
    • 6.1.3Critério da comparação de razões
    • 6.1.4Teste da divergência
    • 6.1.5Teste da comparação (1º Critério de Comparação)
    • 6.1.6Teste da razão (critério de d'Alembert)
    • 6.1.7Teste da raiz (critério de Cauchy)
  • 6.2Séries de termos quaisquer
    • 6.2.1Teste da série alternada (critério de Leibniz)
    • 6.2.2Testes de Abel e Dirichlet
• 7Tipos importantes de séries
  • 7.1Série geométrica
  • 7.2Série harmônica
  • 7.3Série alternada
  • 7.4Série telescópica (de Mengoli)
• 8Constantes definidas por séries
• 9Rearranjo de termos
• 10Funções definidas por séries
• 11Séries duplas
  • 11.1Exemplos de séries duplas
• 12Série iteradas
  • 12.1Exemplos
• 13Sequência dos termos de uma série
• 14Generalizações em espaços normados
  • 14.1Exemplo
• 15Referências

Um primeiro exemplo[editar | editar código-fonte]

Considere a dízima periódica que resulta da divisão de 1 por 3:

${\displaystyle {\frac {1}{3}}=0,3333\ldots }$

Esta dízima pode ser reinterpretada como a soma da série:

${\displaystyle 0,3+0,03+0,003+0,0003+0,00003+\ldots }$

E neste caso, dizemos que a soma desta série é ${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$

Notação[editar | editar código-fonte]

Cauchy formaliza o estudo das séries.

Se forem ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n},\ldots }$ os termos da sequência que desejamos somar. A soma ${\displaystyle S}$ da série será:

${\displaystyle S=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

No exemplo anterior, temos ${\displaystyle a_{n}=3\cdot 10^{-n},}$ que forma uma progressão geométrica de razão ${\displaystyle 10^{-1}.}$

Chamamos de soma parcial até o termo N, ${\displaystyle S_{N}}$ a soma dos N primeiros termos de uma série:

${\displaystyle S_{N}=\sum _{n=1}^{N}a_{n}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{N}}$

Definição[editar | editar código-fonte]

Define-se a soma ${\displaystyle S}$ de uma série infinita, o limite das somas parciais quando este limite existe:

${\displaystyle S=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}a_{n}=\lim _{N\to \infty }S_{N}}$

Quando este limite existe, definímos ainda o resíduo de ordem n da série, pela seguinte série:

${\displaystyle R_{N}=\sum _{n=N+1}^{\infty }a_{n}}$

Esta definição nos permite escrever:

${\displaystyle S=S_{N}+R_{N}}$ para todo ${\displaystyle N\geq 1}$

A soma parcial pode, portanto, ser interpretada como uma aproximação para a soma da série, enquanto que o resíduo é o erro desta aproximação.

É claro que:

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }R_{N}=\lim _{N\to \infty }(S-S_{N})=S-S=0}$

Aspectos históricos[editar | editar código-fonte]

Aquiles

A consideração de somas infinitas é um problema estreitamente ligado ao problema da passagem ao limite. A falta por longo período de conceitos adequados e de uma teoria razoável levou os matemáticos a numerosas especulações e paradoxos a respeito da natureza das séries infinitas, a exemplo do paradoxo de Zenão.

O paradoxo de Zenão segundo Aristóteles em Fisica VI, 239 b 9 ss consiste basicamente em decompor o movimento em um número infinito de partes. Pressupondo de que é impossível realizar infinitos movimentos em tempo finito, o deslocamento torna-se impossível. O experimento mental tradicional propõe uma competição entre o herói Aquiles e uma tartaruga. A tartaruga parte com uma vantagem inicial. É impossível que Aquiles alcance a tartaruga, porque, quando Aquiles atinge a posição inicial da tartaruga (A), ela já avançou para o ponto (B). Quando Aquiles chega ao ponto B, a tartaruga já está em C e assim até o infinito.

O matemático e astrônomo Madhava foi o primeiro, no século XIV, a considerar tais séries. Seus trabalhos receberam continuidade por seus sucessores da escola de Kerala, região ao sul da Índia e foram registrados no livro Yuktibhasa. Madhava se dedica ao estudo das funções trigonométricas, propondo-lhe desenvolvimento em séries de Taylor e em séries trigonométrica. Ele utiliza esses conceitos para o cálculo de aproximações (notavelmente para estimar o valor numérico da constante ${\displaystyle \pi }$) e estabelece estimativas para o erro assumido. Também introduz os primeiros critérios de convergência.

No século XVII, James Gregory redescobre vários desses resultados, em especial o desenvolvimento de séries trigonométricas em séries de Taylor e sua série que permita calcular o valor numérico de ${\displaystyle \pi .}$ Em 1715, Brook Taylor, ao publicar a construção geral das séries que recebem seu nome, estabelece uma frutífera ligação da teoria de séries infinitas com o cálculo diferencial.

No século XVIII, Leonhard Euler estabelece numerosas relações sobre séries, calcula diversas somas notáveis e introduz o conceito de série hipergeométrica.

A teoria das séries infinitas se estabelece finalmente com o advento da análise matemática ao longo dos séculos XVIII e XIX com os trabalhos sobretudo de Augustin Louis Cauchy.

Classificação das séries quanto à convergência ^[1][editar | editar código-fonte]

Nome		Limite ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$existe?	Limite ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|}$existe?	Exemplo deste tipo de série
Série convergente (seus termos formam uma sequência dita somável)	absolutamente convergente	Sim e é finito	Sim e é finito	${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a^{n},\forall |a|<1}$
	condicionalmente convergente	Sim e é finito	Não existe	A soma ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}}$ converge, mas se a tomarmos em módulo teremos uma soma divergente
Série divergente		Não existe	-	Os somatórios ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$ e ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n}$ divergem.
Série oscilante		Não	-	O somatório ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}}$

• Obs.: Alguns autores, sobretudo fora do escopo da análise real ou na teoria das séries divergentes, definem como série divergente toda aquela que não é convergente.

Convergência e divergência de séries[editar | editar código-fonte]

Diversos são os teoremas para provar que determinada série numérica converge ou diverge, esses costumam ser chamados de testes (ou critérios), eis alguns exemplos:

Termos positivos[editar | editar código-fonte]

Teste da integral[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Teste da integral

O teste da integral é um método para estabelecer a convergência de um série comparando a soma de seus termos à integral de uma função adequada.

Seja ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ uma série de números positivos e ${\displaystyle f(x):[1,\infty ]\to \mathbb {R} }$ uma função com as seguintes propriedades:

• ${\displaystyle f(x)\geq 0;}$
• ${\displaystyle f(x)}$ é decrescente;
• ${\displaystyle f(n)=a_{n}.}$

Então ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ converge se e somente se ${\displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)dx}$ converge.

Teste da comparação do limite (2º Critério de Comparação)[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Teste da comparação do limite

O teste da comparação do limite é uma generalização do teste da comparação. Sejam ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ e ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ séries de termos positivos. Então:

• Se ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=C,}$ sendo ${\displaystyle C}$ um número e ${\displaystyle 0<C<\infty ,}$ temos:

ambas as séries divergem ou ambas as séries convergem.

Obs.: Se ${\displaystyle C=0,}$ então:

Se ${\displaystyle {b_{n}}}$ é convergente → ${\displaystyle {a_{n}}}$ é convergente.

Este teste admite uma ligeira modificação através do uso do limite superior:

• Se ${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<\infty ,}$ temos que:

Se ${\displaystyle {b_{n}}}$ é convergente → ${\displaystyle {a_{n}}}$ é convergente.

Critério da comparação de razões[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Critério da comparação de razões

O critério da comparação de razões serve como base para muitos dos critérios utilizados para estudar convergência e divergência de séries. Este é sugerido pela lógica da progressão geométrica.

Sejam as séries de termos positivos ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$ e ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }b_{k},}$ imaginemos que existe um número natural ${\displaystyle p}$ tal que, para ${\displaystyle k\geq p,}$ temos:

• ${\displaystyle {\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\leq {\frac {b_{k+1}}{b_{k}}}}$

Então

• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }b_{k}}$ convergente ⇒ ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$ convergente;
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$ divergente ⇒ ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }b_{k}}$ divergente;

Teste da divergência[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Teste da divergência

O teste da divergência ou teste do termo geral estabelece que uma série numérica não pode convergir se o seu termo geral não converge para zero. Ou seja:

Se ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ converge, então seu termo geral ${\displaystyle a_{n}}$ converge para zero.

Observe cuidadosamente que a recíproca não é verdadeira, um contra-exemplo simples é a série harmônica:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$

onde o termo geral ${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$ tende a zero, mas a soma diverge.

Teste da comparação (1º Critério de Comparação)[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Teste da comparação

O teste da comparação estabelece um critério para convergência de séries de termos positivos, ou para a convergência absoluta. Sejam as séries:

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$

Então se ${\displaystyle 0\leq a_{n}\leq b_{n}}$ e se a segunda série converge a primeira também converge (e a soma não é superior). Ou ainda, se a primeira diverge a segunda também deve divergir. Podemos também estabelecer que se ${\displaystyle |a_{n}|\leq b_{n},}$ então a primeira série converge contanto que a segunda também convirja.

Teste da razão (critério de d'Alembert)[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Teste da razão

O teste da razão ou teste de d'Alembert é um teste para saber a convergência ou não de uma série comparando-a com a série geométrica.

Seja ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ uma série de termos não nulos.

E suponha que exista o limite ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=L}$

Então

• ${\displaystyle L<1,}$ a série é absolutamente convergente (portanto convergente);
• ${\displaystyle L>1}$ ou ${\displaystyle L=\infty }$ ou ${\displaystyle L=1^{+},}$ a série é divergente;
• ${\displaystyle L=1^{-},}$ o teste é inconclusivo.

Teste da raiz (critério de Cauchy)[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Teste da raiz

O teste da raiz ou teste de Cauchy é outro teorema que permite estabelacer a convergência de uma série. Ele pode também ser aplicado para estudar a convergência de uma série de funções e permite estabelecer o raio de convergência de uma série de Taylor.

Seja ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ uma série numérica e a constante ${\displaystyle k}$ definida pelo limite:

• ${\displaystyle k=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}$

Então:

• Se ${\displaystyle k<1,}$ a série converge absolutamente
• Se ${\displaystyle k>1}$ ou ${\displaystyle k=1^{+},}$ a série não converge
• Se ${\displaystyle k=1^{-},}$ nada se pode concluir

No caso de o limite não existir, este teste ainda é válido, substituindo a definição de ${\displaystyle k}$ por:

• ${\displaystyle k=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}$

Séries de termos quaisquer[editar | editar código-fonte]

Teste da série alternada (critério de Leibniz)[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Teste da série alternada

ou Critério de Leibniz

Testes de Abel e Dirichlet[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Teste de Abel e Teste de Dirichlet

O teste de Abel e o teste de Dirichlet demonstram a convergência de séries numéricas que podem ser escritas na forma:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}$

quando os coeficiente ${\displaystyle b_{n}}$ forma uma sequência monotônica com limite ${\displaystyle b_{\infty }.}$

O teste de Abel garante a convergência de ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}$ quando ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ é convergente. Já o teste de Dirichet se aplica quando ${\displaystyle b_{\infty }=0,}$ mas exige apenas que as somas parcial sejam limitadas:

${\displaystyle \left|\sum _{n=1}^{N}a_{n}\right|\leq M}$

Tipos importantes de séries[editar | editar código-fonte]

Série geométrica[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Série geométrica

A série geométrica formada pelos termos de uma progressão geométrica:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }r^{n}}$

Da teoria das progressões geométricas, temos que:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}r^{n}={\frac {r-r^{N+1}}{1-r}}={\frac {r}{1-r}}-{\frac {r^{N+1}}{1-r}}}$

É facil ver que se ${\displaystyle |r|<1}$ então esta série é convergente e sua soma é dada por:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }r^{n}={\frac {r}{1-r}}}$

ou, como é mais usual:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }r^{n}={\frac {1}{1-r}}}$

Série harmônica[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Série harmônica (matemática)

A série harmônica formada pelos termos de uma progressão harmônica:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$

Esta série é divergente, o que pode ser provado com a seguinte astúcia:

${\displaystyle {\frac {1}{n}}=\int _{n}^{n+1}{\frac {1}{n}}dx>\int _{n}^{n+1}{\frac {1}{x}}dx=\ln(n+1)-\ln(n)}$

e substitua nas somas parciais:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n}}>\sum _{n=1}^{N}\left(\ln(n+1)-\ln(n)\right)=\left(\ln(2)-\ln(1)\right)+\left(\ln(3)-\ln(2)\right)+\ldots +\left(\ln(N+1)-\ln(N)\right)}$

Simplificando os termos repetidos temos:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n}}>\ln(N+1)\to \infty ,~~N\to \infty }$

Série alternada[editar | editar código-fonte]

Chama-se série alternada toda a série da forma: ${\displaystyle S=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\,~~a_{n}\geq 0}$ Um exemplo de série alternada é: ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1}{n}}=\ln(2),}$ que a despeito da série harmônica, converge. Para verificar a convergência de séries alternadas, existe o teste da série alternada.

Série telescópica (de Mengoli)[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Série telescópica

Chame-se série telescópica toda série cujos termos ${\displaystyle a_{n}}$ possam ser escritos como:

${\displaystyle a_{n}=b_{n}-b_{n+1},}$ onde ${\displaystyle b_{n}}$ é outra progressão numérica.

Um exemplo de série telescópica é

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}}$

Observe que aqui

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{n(n+1)}}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}=b_{n}-b_{n+1}}$

É fácil ver que:${\displaystyle S_{N}=\sum _{n=1}^{N}(b_{n}-b_{n+1})=b_{1}-b_{N+1}}$ e, portanto: ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ é convergente se e somente se existe o limite ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}}$

Constantes definidas por séries[editar | editar código-fonte]

Algumas constantes matemáticas são mais frequentemente definidas diretamente através de uma série, este é o caso de:

• O número de Euler: ${\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}}$
• A constante de Liouville, o primeiro número transcendente construído: ${\displaystyle \gamma =\sum _{n=1}^{\infty }10^{-n!}}$
• O número ${\displaystyle \pi }$: ${\displaystyle \pi =\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {4}{2n+1}}}$
• A constante de Brun, que vale aproximadamente 1,9021605823, é definida como a soma dos inversos dos pares de primos gêmeos:

${\displaystyle B_{2}=\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\right)+\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\left({\frac {1}{29}}+{\frac {1}{31}}\right)+\cdots }$

Essa série é convergente, em contraste com a série dos inversos dos primos, que é divergente:

${\displaystyle B_{1}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}+\cdots =\infty }$

Rearranjo de termos[editar | editar código-fonte]

Sejam os termos ${\displaystyle a_{n}}$ de uma série. Definimos um rearranjo dos termos uma nova sequência com os mesmos termos ${\displaystyle a_{\sigma (n)}}$ onde ${\displaystyle \sigma (n)}$ é uma permutação.

• Pode-se mostrar que se uma série converge absolutamente, então pode-se rearranjar os termos sem alterar a soma.
• Se uma série de números reais é condionalmente convergente mas não absolutamente convergente, então cada cada soma pré-fixada ${\displaystyle S,}$ existe um rearranjo de termos tal que a soma da série rearranjanda é ${\displaystyle S.}$

Funções definidas por séries[editar | editar código-fonte]

Um procedimento bastante comum em análise matemática é o de definir funções atráves de séries. Veja o exemplo:

${\displaystyle \zeta (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{x}}}}$

Se ${\displaystyle x}$ é um número real maior que ${\displaystyle 1}$ então esta função está bem definida, o que pode ser mostrado pelo teste da integral (veja série harmônica). Um caso importante é ${\displaystyle \zeta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$ Se ${\displaystyle x}$ é um número complexo, esta função é a famosa função zeta de Riemann a respeito da qual há um dos mais importantes problemas em aberto da matemática moderna. Quanto os termos da série são potências, então a série é dita uma série de Taylor, por exemplo:

${\displaystyle S(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$

Séries duplas[editar | editar código-fonte]

Defíne-se como série dupla o limite duplo a seguir:

${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{\infty }a_{ij}:=\lim _{N_{i},N_{j}\to \infty }\sum _{i=1}^{N_{i}}\sum _{j=1}^{N_{j}}a_{ij}}$

Exemplos de séries duplas[editar | editar código-fonte]

• ${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}+3^{j}}}}$
• A função elíptica de Weierstrass é definida pela série dupla:

${\displaystyle \wp (z;\omega _{1},\omega _{2})={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{m^{2}+n^{2}\neq 0}\left\{{\frac {1}{(z-m\omega _{1}-n\omega _{2})^{2}}}-{\frac {1}{\left(m\omega _{1}+n\omega _{2}\right)^{2}}}\right\}.}$

Série iteradas[editar | editar código-fonte]

Chama-se série iterada aquela cujos termos são outras séries:

• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{\infty }a_{ij}=\sum _{i=1}^{\infty }S_{i},~~S_{i}=\sum _{j=1}^{\infty }a_{ij}}$

Exemplos[editar | editar código-fonte]

• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}+3^{j}}}}$

Também podemos construir séries de somas finitas:

• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{i}{\frac {1}{2^{i}}}=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {i}{2^{i}}}}$

Sequência dos termos de uma série[editar | editar código-fonte]

Seja ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ uma sequência real ou complexa e ${\displaystyle p\geq 1,}$ dizemos que ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ pertence ao espaço l^p se:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{p}}$ converge.

Generalizações em espaços normados[editar | editar código-fonte]

Seja ${\displaystyle X}$ um espaço normado, ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subseteq X,}$ definimos de forma análoga:

${\displaystyle S=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}a_{n},}$ quando este limite existe.

A série é somável em norma se

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\|a_{n}\|}$ converge.

Nestes termos, ${\displaystyle X}$ é um espaço de Banach se e somente se todo série somável em norma for também convergente.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

• O espaço de Hilbert das funções quadrado-somável no intervalo ${\displaystyle [0,1],}$ ${\displaystyle L^{2}[0,1]}$ munido de sua norma:

${\displaystyle \|f\|_{L^{2}}=\left(\int _{0}^{1}|f(t)|^{2}dt\right)^{1/2}}$

é um dos espaços mais importantes da matemática aplicada à teoria do processamento de sinais analógicos. Neste espaço, todo elemento pode ser escrito como uma série de Fourier:

${\displaystyle f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{i\pi nt}dt,~~c_{n}=\int _{0}^{1}f(t)e^{-i\pi nt}dt}$

• Considere o espaço de Banach das funções contínuas definidas no intervalo ${\displaystyle K=[0,1],}$ munidas da norma do supremo. Convergência neste espaço equivale a convergência uniforme.

O Commons possui uma categoriacontendo imagens e outros ficheiros sobre Série (matemática)

Referências

1. ↑ LIMA, Elon Lages. Curso de Análise volume 1. Rio de Raneiro, 11ª edição, 2004. Páginas 134-5

• Guidorizzi, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo, vol 4. 5^aedição. São Paulo: LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 2002.
• Ávila, Geraldo Severo de Souza. Introdução à análise matemática. 2^aedição. São Paulo: Edgard Blucher, 1999.
• Bartle, Robert Gardner. The elements of real analysis. 2^aedição. New York: Wiley, 1976.
• Rezende, Antonio. Curso de filosofia 5^aedição. Rio de Janeiro: Jorge Zahar Editor / SEAF, 1992.
• Rudin, Walter. Principles of mathematical analysis. 3^aedição. Auckland: Mcgraw-Hill, 1976.
• Simmons, George F.. Cálculo com geometria analítica, vol 2. 1^aedição. São Paulo: McGraw-Hill Ltda, 1987.

v • e Séries e Sequência
Aritmética sequência	Séries divergentes 1 + 1 + 1 + 1 + · · · 1 + 2 + 3 + 4 + · · · Infinita série aritmética
Geométrica sequência	Série convergente 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + · · · 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + · · · 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · · Divergente séries geométrica 1 + 1 + 1 + 1 + · · · 1 + 2 + 4 + 8 + · · · 1 − 2 + 4 − 8 + · · · 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (Série de Grandi) Potência de 2 Potência de 10
Hipergeométrica sequências	Função geral hipergeométrica Função hipergeométrica de um argumento matriz Função de Lauricella Função modular hipergeométrica Equação diferencial de Riemann Função Theta hipergeométrica
Inteiros sequência	Completa Cubo Fatorial Número de Fibonacci Número figurado Número heptagonal Número hexagonal Lista de sequências Sequência de Lucas Número de Pell Número pentagonal Número poligonal Quadrado perfeito Número triangular
Outras sequências	Séries divergentes 1 − 2 + 3 − 4 + · · · 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + · · · 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + · · · Sequência periódica

v • e Tópicos sobre análise
Cálculo: Integração Diferenciação Equações diferenciais (ordinária - parcial) Teorema fundamental do cálculo Cálculo de variações Cálculo vetorial Cálculo tensorial Tábua de integrais Tabela de derivadas
Análise real Análise complexa Análise funcional Análise de Fourier Análise harmônica Teoria da medida Teoria de representação Funções Função contínua Funções especiais Limite Séries Infinito

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