ANGICO E SUAS LENDAS: CONE

Em geometria, o cone é um sólido geométrico obtido quando se tem uma pirâmide cuja base é um polígono regular, e o número de lados da base tende ao infinito.

Índice

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Classificação[editar | editar código-fonte]

Os cones podem ser divididos em:

Reto;
Oblíquo;
Equilátero.

Reto[editar | editar código-fonte]

O cone é dito reto quando a sua base é um círculo e a reta que liga o vértice superior ao centro da circunferência da sua base (isto é, o seu eixo) é perpendicular ao plano da base. Em um cone circular reto, cuja base é um círculo, a face lateral é formada por geratrizes (g), que são linhas retas que ligam o vértice superior a pontos constituintes da circunferência do círculo. O conjunto desses pontos, ou seja, a totalidade da circunferência, tem o nome de diretriz, porque é a direção que as geratrizes tomam para criar a superfície cônica. Pode-se dizer também que o cone é gerado por um triângulo retângulo que roda sobre um eixo formado por um dos catetos, no caso de ser um cone reto.

Oblíquo[editar | editar código-fonte]

Denomina-se oblíquo quando não é um cone reto, ou seja, quando o eixo não é perpendicular ao plano da base.

Equilátero[editar | editar código-fonte]

Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é uma região triangular equilátera e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.

Cone de um espaço vetorial[editar | editar código-fonte]

Um subconjunto C do espaço vetorial E chama-se um cone quando, para todo elemento v pertencente a C e todo t > 0 real, tem-se que tv pertence a C.

Fórmulas[editar | editar código-fonte]

O volume,

{\textstyle V}

, de um cone de altura,

{\textstyle h}

, e base com raio,

{\textstyle r}

, é

{\textstyle 1/3}

do volume do cilindro com as mesmas dimensões, ou seja:

$V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h$ $V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h$

O centro de massa (considerando que o cone possui densidade uniforme) está localizado no seu eixo a

{\textstyle 1/4}

da distância da base ao eixo. A área da superfície de um cone

{\textstyle A}

é dada por:

$A=\pi r(r+g)$ $A=\pi r(r+g)$

onde,

{\textstyle g={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}

é a geratriz ou altura lateral do cone. O primeiro termo nesta fórmula,

{\textstyle \pi r^{2}}

é a área da base, enquanto que o segundo termo

{\textstyle \pi rg}

é a área lateral. Ou seja, a área total é a área lateral mais a área da base:

_{$A=\pi r\cdot g+\pi r^{2}$ $A=\pi r\cdot g+\pi r^{2}$}

Com uso de cálculo integral[editar | editar código-fonte]

Aqui, obteremos as fórmulas do volume e área total do cone usando de técnicas de cálculo diferencial e integral. Um cone de altura

{\textstyle h}

e raio

{\textstyle r}

corresponde ao sólido de revolução que se obtém ao rotacionar a função:

$y={\frac {r}{h}}x$ $y={\frac {r}{h}}x$

em torno do eixo

{\textstyle x}

Volume

Cone de revolução.

Notemos que a área da seção circular do cone é dada por:

$A=\pi y^{2}=\pi \left({\frac {r}{h}}x\right)^{2}$ $A=\pi y^{2}=\pi \left({\frac {r}{h}}x\right)^{2}$

Para um deslocamento infinitesimal

{\textstyle dx}

tem-se o incremento de volume:

$dV=\pi {\frac {r^{2}}{h^{2}}}x^{2}dx$ $dV=\pi {\frac {r^{2}}{h^{2}}}x^{2}dx$

Então, integrando de

{\textstyle 0}

{\textstyle h}

obtemos o volume do cone:

$\int _{0}^{h}dV=\pi {\frac {r^{2}}{h^{2}}}\int _{0}^{h}x^{2}dx\Rightarrow V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h$ $\int _{0}^{h}dV=\pi {\frac {r^{2}}{h^{2}}}\int _{0}^{h}x^{2}dx\Rightarrow V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h$

Área total

O cálculo da área de superfície total do cone se divide em duas partes: o cálculo da área da base e o cálculo da área lateral. A base é um círculo de área:

$A_{b}=\pi r^{2}$ $A_{b}=\pi r^{2}$

Agora, para obtermos a área da superfície lateral, vamos empregar um raciocínio semelhante ao do cálculo do volume. Primeiramente, observamos que um deslocamento infinitesimal

{\textstyle dx}

corresponde a um deslocamento de comprimento de linha

{\textstyle dL}

sobre a reta

{\textstyle y={\frac {r}{h}}x}

. Pelo Teorema de Pitágoras temos que

(dL)^{2}=(dy)^{2}+(dx)^{2}

, ou seja:

$dL={\sqrt {\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}+1}}\,dx$ $dL={\sqrt {\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}+1}}\,dx$

Considerando a rotação do segmento

{\textstyle dL}

em torno do eixo

{\textstyle x}

, temos que o incremento de área lateral infinitesimal é dada por:

$dA_{l}=2\pi y\,dL$ $dA_{l}=2\pi y\,dL$

Substituindo

{\textstyle y}

{\textstyle dL}

em função de

{\textstyle x}

{\textstyle dx}

, obtemos:

$dA_{l}=2\pi {\frac {r}{h}}x{\sqrt {{\frac {r^{2}}{h^{2}}}+1}}\,dx$ $dA_{l}=2\pi {\frac {r}{h}}x{\sqrt {{\frac {r^{2}}{h^{2}}}+1}}\,dx$

Integrando de

{\textstyle 0}

{\textstyle h}

, temos:

$\int _{0}^{h}dA_{l}=\int _{0}^{h}2\pi {\frac {r}{h}}x{\sqrt {{\frac {r^{2}}{h^{2}}}+1}}\,dx\Rightarrow A_{l}=\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$ $\int _{0}^{h}dA_{l}=\int _{0}^{h}2\pi {\frac {r}{h}}x{\sqrt {{\frac {r^{2}}{h^{2}}}+1}}\,dx\Rightarrow A_{l}=\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$