NABLA

Nabla é um símbolo, escrito como ${\displaystyle \nabla }$. O nome vem de uma palavra grega para um tipo de harpa com uma forma semelhante. Palavras semelhantes existem também em Aramaico e Hebraico.

Outro nome, menos usado, para o símbolo é atled, porque é um delta invertido verticalmente.

O símbolo nabla está disponível em HTML padrão como ∇ e em LaTeX como \nabla. Em Unicode, é o caracter com o número edecimal 8711, ou o número hexadecimal 0x2207.

O nabla é usado em matemática para denominar o operador diferencial del no cálculo vetorial. Foi introduzido por William Rowan Hamilton, como uma derivada vetorial de uma função escalar.

Índice

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• 1Matemática
  • 1.1Coordenadas Cartesianas
  • 1.2Coordenadas Cilíndricas
  • 1.3Coordenadas Esféricas
  • 1.4Grandezas definidas por ${\displaystyle \;\;{\overrightarrow {\nabla }}}$
    • 1.4.1Gradiente
    • 1.4.2Divergência
    • 1.4.3Rotacional
  • 1.5Identidades

Matemática[editar | editar código-fonte]

Em matemática o operador del é definido, num sistema de coordenadas ortogonais, como:

${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}={\frac {{\hat {q}}_{1}}{h_{1}}}{\partial \over \partial q_{1}}+{\frac {{\hat {q}}_{2}}{h_{2}}}{\partial \over \partial q_{2}}+{\frac {{\hat {q}}_{3}}{h_{3}}}{\partial \over \partial q_{3}}}$

onde ${\displaystyle h_{i}}$ é o módulo do vetor ${\displaystyle {\hat {q}}_{i}}$.

Coordenadas Cartesianas[editar | editar código-fonte]

Em coordenadas cartesianas, em que ${\displaystyle h_{i}=1}$ obtém-se:

${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}={\hat {i}}{\partial \over \partial x}+{\hat {j}}{\partial \over \partial y}+{\hat {k}}{\partial \over \partial z}.}$

Coordenadas Cilíndricas[editar | editar código-fonte]

Em coordenadas cilíndricas em que ${\displaystyle h_{\rho }=h_{z}=1,\ h_{\varphi }=\rho }$, obtém-se:

${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}={\hat {\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}+{\frac {\hat {\varphi }}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}+{\hat {z}}{\frac {\partial }{\partial z}}}$

Coordenadas Esféricas[editar | editar código-fonte]

Em coordenadas esféricas, em que ${\displaystyle h_{r}=1,\ h_{\theta }=r,\ h_{\varphi }=r{\rm {sen}}\theta }$, obtém-se:

${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}={\hat {r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {\hat {\theta }}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {\hat {\varphi }}{r\,{\rm {sen}}\,\theta }}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}}$

Grandezas definidas por ${\displaystyle \;\;{\overrightarrow {\nabla }}}$[editar | editar código-fonte]

Serão definidas abaixo algumas grandezas matemáticas envolvendo ${\displaystyle \;\;{\overrightarrow {\nabla }}}$ em ${\displaystyle \;\;\mathbb {R} ^{3}}$ em coordenadas cartesianas.

Gradiente[editar | editar código-fonte]

O gradiente de uma função escalar ${\displaystyle \;f(x,y,z)\;}$ derivável em todos os pontos é definido por:
${\displaystyle \operatorname {grad} \,(f)={\overrightarrow {\nabla }}(f)=\left({\partial \over \partial x}{\hat {i}}+{\partial \over \partial y}{\hat {j}}+{\partial \over \partial z}{\hat {k}}\right)f={\partial f \over \partial x}{\hat {i}}+{\partial f \over \partial y}{\hat {j}}+{\partial f \over \partial z}{\hat {k}}}$

Divergência[editar | editar código-fonte]

A divergência de uma função vetorial ${\displaystyle {\overrightarrow {F}}}$ derivável em todos os pontos, denotada por ${\displaystyle {\overrightarrow {F}}(x,y,z)=F_{1}{\hat {i}}+F_{2}{\hat {j}}+F_{3}{\hat {k}}}$ é dada por:
${\displaystyle \operatorname {div} \,({\overrightarrow {F}})={\overrightarrow {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {F}}=\left({\partial \over \partial x}{\hat {i}}+{\partial \over \partial y}{\hat {j}}+{\partial \over \partial z}{\hat {k}}\right)\cdot (F_{1}{\hat {i}}+F_{2}{\hat {j}}+F_{3}{\hat {k}})={\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{3}}{\partial z}}.}$

Rotacional[editar | editar código-fonte]

O rotacional de um campo vetorial ${\displaystyle {\overrightarrow {F}}}$ como o definido acima é:
${\displaystyle \operatorname {rot} \,({\overrightarrow {F}})={\overrightarrow {\nabla }}\times {\overrightarrow {F}}=\left({\partial \over \partial x}{\hat {i}}+{\partial \over \partial y}{\hat {j}}+{\partial \over \partial z}{\hat {k}}\right)\times (F_{1}{\hat {i}}+F_{2}{\hat {j}}+F_{3}{\hat {k}})=}$${\displaystyle =\left|{\begin{matrix}{\hat {i}}&{\hat {j}}&{\hat {k}}\\&&\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\&&\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{matrix}}\right|=\left({\frac {\partial F_{3}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{2}}{\partial z}}\right){\hat {i}}+\left({\frac {\partial F_{1}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{3}}{\partial x}}\right){\hat {j}}+\left({\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}\right){\hat {k}}}$

Identidades[editar | editar código-fonte]

A seguir, algumas identidades com o operador nabla (sendo ${\displaystyle \;f\;}$ e ${\displaystyle \;g\;}$ funções escalares deriváveis e ${\displaystyle \;{\overrightarrow {F}}\;}$ e ${\displaystyle \;{\overrightarrow {G}}\;\;}$ campos vetoriais deriváveis):

1. ${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}(f+g)={\overrightarrow {\nabla }}f+{\overrightarrow {\nabla }}g}$
2. ${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}(fg)=f{\overrightarrow {\nabla }}g+g{\overrightarrow {\nabla }}f}$
3. ${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}\cdot ({\overrightarrow {F}}+{\overrightarrow {G}})={\overrightarrow {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {F}}+{\overrightarrow {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {G}}}$
4. ${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}\times ({\overrightarrow {F}}+{\overrightarrow {G}})={\overrightarrow {\nabla }}\times {\overrightarrow {F}}+{\overrightarrow {\nabla }}\times {\overrightarrow {G}}}$
5. ${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}\cdot (f{\overrightarrow {F}})=({\overrightarrow {\nabla }}f)\cdot {\overrightarrow {F}}+f({\overrightarrow {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {F}})}$
6. ${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}\times (f{\overrightarrow {F}})=({\overrightarrow {\nabla }}f)\times {\overrightarrow {F}}+f({\overrightarrow {\nabla }}\times {\overrightarrow {F}})}$
7. ${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}\cdot ({\overrightarrow {F}}\times {\overrightarrow {G}})={\overrightarrow {G}}\cdot ({\overrightarrow {\nabla }}\times {\overrightarrow {F}})-{\overrightarrow {F}}\cdot ({\overrightarrow {\nabla }}\times {\overrightarrow {G}})}$
8. ${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}({\overrightarrow {F}}\cdot {\overrightarrow {G}})=({\overrightarrow {G}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}){\overrightarrow {F}}+({\overrightarrow {F}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}){\overrightarrow {G}}+{\overrightarrow {G}}\times ({\overrightarrow {\nabla }}\times {\overrightarrow {F}})+{\overrightarrow {F}}\times ({\overrightarrow {\nabla }}\times {\overrightarrow {G}})}$
9. ${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}\times ({\overrightarrow {F}}\times {\overrightarrow {G}})=({\overrightarrow {G}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}){\overrightarrow {F}}-{\overrightarrow {G}}({\overrightarrow {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {F}})-({\overrightarrow {F}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}){\overrightarrow {G}}+{\overrightarrow {F}}({\overrightarrow {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {G}})}$
10. ${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}f=\nabla ^{2}f}$ , em que ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ é o operador conhecido como laplaciano.
11. ${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}\times ({\overrightarrow {\nabla }}\times {\overrightarrow {F}})={\overrightarrow {\nabla }}({\overrightarrow {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {F}})-\nabla ^{2}{\overrightarrow {F}}}$
12. ${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}\times ({\overrightarrow {\nabla }}f)={\overrightarrow {0}}}$
13. ${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}\cdot ({\overrightarrow {\nabla }}\times {\overrightarrow {F}})=0}$

Observação: Nas expressões de 10-13 é suposto que as funções ${\displaystyle \;f\;}$ e ${\displaystyle \;{\overrightarrow {F}}\;\;}$ têm derivadas parciais de 2ª ordem contínuas.

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Categorias: 

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