CURVATURA

Em matemática, uma curvatura é qualquer um de uma série de conceitos vagamente relacionadas em diferentes áreas da geometria. Intuitivamente, curvatura é a quantidade na qual um objeto geométrico se desvia do plano, ou reto no caso de uma linha, mas esta é definida de diferentes formas, dependendo do contexto. Há uma diferença fundamental entre a curvatura extrínseca, que é definida para objetos incorporados em outro espaço (geralmente um espaço euclidiano) de um modo que se relaciona com o raio de curvatura de círculos que tocam o objeto, e curvatura intrínseca, que é definida em cada ponto de uma variedade de Riemann. Este artigo lida principalmente com o primeiro conceito.

O exemplo clássico de curvatura extrínseca é a de um círculo, que em todos os lugares tem curvatura igual ao inverso do seu raio. Círculos menores dobram-se mais acentuadamente, e, portanto, têm maior curvatura. A curvatura de uma curva suave é definida como a curvatura do seu círculo osculador em cada ponto.

Mais vulgarmente isto é uma quantidade escalar, mas pode-se também definir um vetor de curvatura que leva em conta a direção da dobra, bem como a sua nitidez. A curvatura de objetos mais complexos (tais como superfícies ou até mesmo curvas n-dimensionais de espaços) é descrita por mais objetos complexos de álgebra linear, tais como o tensor de curvatura geral de Riemann.

O restante deste artigo discute, a partir de uma perspectiva matemática, alguns exemplos geométricas de curvatura: a curvatura de uma curva incorporada num plano e que a curvatura de uma superfície no espaço euclidiano. Veja os links abaixo para ler mais.

Curvatura na física[editar | editar código-fonte]

Círculo osculador ilustrando as propriedades da curvatura.

A Relatividade geral prevê que um corpo de grande massa pode alterar a geometria do espaço-tempo, tornando-o curvo. Essa curvatura do espaço-tempo quadridimensional altera a trajetória dos corpos que passem em torno de si, como a deflexão da luz, que tem seus feixes arqueados para dentro pelo campo gravítico do corpo. Nesse espaço-tempo a geodésica entre dois observadores não é a reta.

Curvatura (geometria diferencial)[editar | editar código-fonte]

A curvatura de uma curva bidimensional dada em forma explícita, ${\displaystyle y=f(x)}$ tem uma curvatura ${\displaystyle K}$ num ponto ${\displaystyle x}$, sendo ${\displaystyle K={\frac {y\prime \prime }{(1+y\prime ^{2})^{3/2}}}}$^[1], sendo ${\displaystyle y\prime }$ a derivada de primeira ordem de ${\displaystyle y}$: ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {df(x)}{dx}}}$ e ${\displaystyle y\prime \prime }$ é a derivada de segunda ordem de ${\displaystyle y}$: ${\displaystyle y\prime \prime ={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d^{2}f(x)}{dx^{2}}}}$.

A representação de limite para a curvatura de uma curva no seu ponto ${\displaystyle P(x,y)}$ é ${\displaystyle K=\lim \limits _{\Delta s\rightarrow 0}{\frac {\Delta \theta }{\Delta s}}}$, onde ${\displaystyle \Delta s}$ é o comprimento da curva entre o ponto ${\displaystyle P(x,y)}$ e um ponto ${\displaystyle Q(x,y)}$, também na curva, de modo que a distância entre P e Q tenda a 0. ${\displaystyle \Delta \theta }$ é o ângulo de giro da tangente da curva, entre o ponto P e Q.

O raio do círculo osculador da curva é ${\displaystyle {\frac {1}{|K|}}}$.

[Esconder] v • e Várias noções de curvatura definida em geometria diferencial
Geometria diferencial de curvas	Curvatura Torsão de uma curva Fórmulas de Frenet–Serret Raio de curvatura Curvatura afim Curvatura total Curvatura total absoluta
Geometria diferencial de superfícies	Curvatura principal Curvatura gaussiana Curvatura média Darboux frame Equações de Gauss–Codazzi Primeira forma fundamental Segunda forma fundamental
Geometria de Riemann	Curvatura de variedades riemanianas Curvatura seccional Escalar de curvatura de Ricci Tensor de curvatura Tensor de curvatura de Ricci
Curvatura de conecções	Forma de curvatura Tensor de torção Co-curvatura Holonomia

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1. Ir para cima↑ «Faça exemplos com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 22 de março de 2016

Categoria: 

• Geometria diferencial