ANGICO E SUAS LENDAS: INTERVALO ( MATEMATICA )

Em Matemática, um intervalo (real) é um conjunto que contém cada número real entre dois extremos indicados, podendo ou não conter os próprios extremos. Por exemplo: um conjunto cujos elementos são maiores ou iguais a 0 e menores ou iguais a 1 (isto é, 0 ≤ x ≤ 1, sendo x um elemento qualquer pertencente ao conjunto em questão) é um intervalo que contém os extremos 0 e 1, bem como todos os números reais entre eles. Outros exemplos de intervalos são o conjunto dos números reais

\mathbb {R}

e o conjunto dos números reais negativos.

Representação geométrica de um exemplo de intervalo. Neste caso, tem-se que

b>a

, pois a reta real é orientada para a direita e, portanto, cresce nesse sentido. As "bolinhas vazias" nos extremos

a

b

indicam que esses números não pertencem ao intervalo. Logo, qualquer número real menor ou igual a

a

não pertence a esse intervalo, assim como qualquer número real maior ou igual a

b

.^[1]

Os extremos podem ser números reais como também podem ser

-\infty

+\infty

. Existem divergências na literatura sobre se o conjunto vazio deveria ser ou não ser considerado um intervalo.^[2] Quando o conjunto vazio é considerado um intervalo, a família de intervalos é fechada sobre a operação de intersecção. ^[2]

Índice

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Representação[editar | editar código-fonte]

Notações comuns para representar intervalos são:^[3]^[4]

$(a,b)=]a,b[=\{x\in \mathbb {R} /a<x<b\}$ $(a,b)=]a,b[=\{x\in {\mathbb {R}}/a<x<b\}$ : intervalo aberto
$[a,b)=[a,b[=\{x\in \mathbb {R} /a\leq x<b\}$ $[a,b)=[a,b[=\{x\in {\mathbb {R}}/a\leq x<b\}$ : intervalo semi-aberto ou semi-fechado
$(a,b]=]a,b]=\{x\in \mathbb {R} /a<x\leq b\}$ $(a,b]=]a,b]=\{x\in {\mathbb {R}}/a<x\leq b\}$ : intervalo semi-aberto ou semi-fechado
$[a,b]=\{x\in \mathbb {R} /a\leq x\leq b\}$ $[a,b]=\{x\in {\mathbb {R}}/a\leq x\leq b\}$ : intervalo fechado
$[a,+\infty )=[a,+\infty [=\{x\in \mathbb {R} /x\geq a\}$ $[a,+\infty )=[a,+\infty [=\{x\in {\mathbb {R}}/x\geq a\}$ : intervalo fechado
$(a,+\infty )=]a,+\infty [=\{x\in \mathbb {R} /x>a\}$ $(a,+\infty )=]a,+\infty [=\{x\in {\mathbb {R}}/x>a\}$ : intervalo aberto
$(-\infty ,a]=]-\infty ,a]=\{x\in \mathbb {R} /x\leq a\}$ $(-\infty ,a]=]-\infty ,a]=\{x\in {\mathbb {R}}/x\leq a\}$ : intervalo fechado
$(-\infty ,a)=]-\infty ,a[=\{x\in \mathbb {R} /x<a\}$ $(-\infty ,a)=]-\infty ,a[=\{x\in {\mathbb {R}}/x<a\}$ : intervalo aberto
$(-\infty ,+\infty )=]-\infty ,+\infty [=\mathbb {R}$ $(-\infty ,+\infty )=]-\infty ,+\infty [={\mathbb {R}}$ : a reta toda é um intervalo aberto e fechado
$\emptyset$ $\emptyset$ : conjunto vazio, quando considerado um intervalo, é um intervalo aberto e fechado.

O intervalo [a,a]={a} é formado por um único elemento e chamado de intervalo degenerado. ^[4] ^[2]

Explicação[editar | editar código-fonte]

] ou ( → No começo da representação significa que o ponto do extremo esquerdo não está incluído.
[ → No começo da representação significa que o ponto do extremo esquerdo está incluído.
] → No final da representação significa que o ponto do extremo direito está incluído.
[ ou ) → No final da representação significa que o ponto do extremo direito não está incluído.
° bolinha toda branca significa que esse número está excluído.
• bolinha pintada de preto significa que ele está incluído.

Referências

Ir para cima↑ Souza, Joamir Roberto de. Matemática. col: Novo Olhar, 2 ed. São Paulo: FTD, 2013. Capítulo: 1. 320 p. p. 39;41. 3 vol. vol. 1. ISBN 978-85-322-8520-1
↑ ^{Ir para:a} ^b ^c Jaulin, Luc. Applied Interval Analysis. [S.l.: s.n.], 2001. ISBN 1852332190
Ir para cima↑ Gelbaum, B. R. & Olmsted J. M. H.. Counterexamples in Analysis (em inglês). [S.l.: s.n.], 1964.
↑ ^{Ir para:a} ^b Lages, Elon Lima. Análise real volume 1 funções de uma variável. 11 ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2012. ISBN 9788524400483