MATRIZ ( MATEMATICA )

Em matemática, uma matriz ${\displaystyle m\times n}$ é uma tabela de ${\displaystyle m}$ linhas e ${\displaystyle n}$ colunas de símbolos sobre um conjunto, normalmente um corpo, F, representada sob a forma de um quadro. As matrizes são muito utilizadas para a resolução de sistemas de equações lineares e transformações lineares.

Uma matriz é um conjunto retangular de números, símbolos ou expressões, organizados em linhas e colunas. Cada um dos itens de uma matriz é chamado de elemento.

Matrizes de mesmo tamanho podem ser somadas ou subtraídas — soma-se ou subtrai-se cada elemento individualmente. Contudo, a regra que se aplica à multiplicação matricial é diferente: multiplicam-se duas matrizes somente quando o número de colunas da primeira é igual ao número de linhas da segunda.

Cada elemento de uma matriz é muitas vezes representado por uma variável com dois subscritos. A variável a_2,1, por exemplo, representa o elemento da segunda linha e primeira coluna de uma matriz A.

Índice

  [esconder] 

• 1Notação
• 2Classificação
  • 2.1Matriz quadrada
  • 2.2Vetor
• 3Classificação de matrizes quanto às suas propriedades
  • 3.1Matriz identidade
  • 3.2Matriz inversa
  • 3.3Matriz transposta
  • 3.4Matriz simétrica
  • 3.5Matriz positiva/negativa (semi)definida
• 4Operações envolvendo matrizes
  • 4.1Multiplicação de um número real por uma matriz
  • 4.2Adição e subtração entre matrizes
  • 4.3Multiplicação de matrizes
• 5Propriedades
  • 5.1Determinante
  • 5.2Transposta da multiplicação
  • 5.3Característica
• 6Ver também
• 7Referências

Notação[editar | editar código-fonte]

As linhas horizontais da matriz são chamadas de linhas e as linhas verticais são chamadas de colunas. Logo uma matriz com ${\displaystyle m}$ linhas e ${\displaystyle n}$ colunas é chamada de uma matriz ${\displaystyle m}$ por ${\displaystyle n}$ (escreve-se ${\displaystyle m\times n}$) e ${\displaystyle m}$ e ${\displaystyle n}$ são chamadas de suas dimensões, tipo ou ordem. Por exemplo, a matriz a seguir é uma matriz de ordem ${\displaystyle 2\times 3}$ com elementos naturais.

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}}$

Um elemento de uma matriz ${\displaystyle A}$ que está na ${\displaystyle i}$-ésima linha e na ${\displaystyle j}$-ésima coluna é chamado de elemento ${\displaystyle i,j}$ ou ${\displaystyle (i,j)}$-ésimo elemento de ${\displaystyle A.}$ Ele é escrito como ${\displaystyle a_{ij}}$ ou ${\displaystyle a[i,j]}$. Nesse exemplo, o elemento ${\displaystyle a_{12}}$ é ${\displaystyle 2}$, o número na primeira linha e segunda coluna do quadro.

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}}$

As entradas (símbolos) de uma matriz também podem ser definidas de acordo com seus índices i e j. Por exemplo, ${\displaystyle a_{ij}=i+j,}$ para ${\displaystyle i}$ de 1 a 3 e ${\displaystyle j}$ de 1 a 2, define a matriz ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&3\\3&4\\4&5\end{bmatrix}},}$ de ordem ${\displaystyle 3\times 2.}$

Nas linguagens de programação, os elementos da matriz podem estar indexados a partir de 1 (Fortran, MATLAB, R, etc) ou a partir de 0 (C e seus dialetos). Por exemplo, o elemento ${\displaystyle a(1,1)}$ em Fortran corresponde ao elemento ${\displaystyle a[0][0]}$ em C.

Classificação[editar | editar código-fonte]

Matriz quadrada[editar | editar código-fonte]

Uma matriz é dita quadrada se tem o mesmo número de linhas e colunas, ou seja, quando podemos dizer que ${\displaystyle m}$ tem a mesma quantidade de elementos que ${\displaystyle n.}$ Numa matriz quadrada ${\displaystyle A}$ de ordem ${\displaystyle n\times n,}$ a diagonal principal é aquela formada pelos elementos ${\displaystyle a_{ij}}$ tais que ${\displaystyle i=j}$, para ${\displaystyle i}$ de ${\displaystyle 1}$ a ${\displaystyle n.}$ No exemplo abaixo, a diagonal principal é formada pelos seguintes elementos: 1, 0 e 2. Há também a diagonal secundária, que é formada pelos elementos cuja soma dos índices da linha e da coluna é igual a n + 1. Na matriz abaixo, os elementos 1, 0 e 2 constituem a diagonal secundária.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}}$

Vetor[editar | editar código-fonte]

Uma matriz onde uma de suas dimensões é igual a 1 é geralmente chamada de vetor. Uma matriz ${\displaystyle 1\times n}$ (uma linha e ${\displaystyle n}$ colunas) é chamada de vetor linha ou matriz linha, e uma matriz ${\displaystyle m\times 1}$ (uma coluna e m linhas) é chamada de vetor coluna ou matriz coluna.

Classificação de matrizes quanto às suas propriedades[editar | editar código-fonte]

Tipo de matriz	é quadrada?	Tem inversa?	Qual é sua transposta?	Positiva/ negativa definida?
Matriz identidade ${\displaystyle I_{n}}$	Sempre	Sim, ela mesma: ${\displaystyle I_{n}}$	Ela mesma, ${\displaystyle I_{n}}$ (é uma matriz simétrica)	Sempre é positiva definida
Matriz inversa ${\displaystyle B^{-1}}$	Sempre	Sim, e é igual à matriz original, ${\displaystyle B}$	${\displaystyle \left({B}^{-1}\right)^{\intercal }}$	Positiva definida se ${\displaystyle B}$ for positiva definida
Matriz singular ${\displaystyle C}$	Sempre	Nunca	${\displaystyle C^{\intercal }}$
Matriz simétrica ${\displaystyle D}$	Sempre	Não necessariamente	${\displaystyle D^{\intercal }=D}$	Negativa definida se e apenas se todos os valores característicos de ${\displaystyle D}$ forem negativos [1]
Matriz transposta ${\displaystyle E^{\intercal }}$	Não necessariamente	Não necessariamente	${\displaystyle E}$
Matriz positiva definida ${\displaystyle F}$	Sempre	Sim, e ${\displaystyle F^{-1}}$ também é positiva definida	${\displaystyle F^{\intercal }}$	Sempre é positiva definida
Matriz negativa definida ${\displaystyle G}$	Sempre	Sim, e ${\displaystyle G^{-1}}$ também é negativa definida[1]	${\displaystyle G^{\intercal }}$	Sempre é negativa definida

Matriz identidade[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Matriz identidade

A Matriz identidade ${\displaystyle I_{n}}$ é a matriz quadrada ${\displaystyle n\times n}$ em que todas as entradas da diagonal principal são iguais a 1 e as demais são iguais a zero, por exemplo

${\displaystyle I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}.}$

Ela é chamada de matriz identidade pois multiplicá-la por outra matriz não altera a matriz:

${\displaystyle MI_{n}=I_{m}M=M,}$

para qualquer matriz ${\displaystyle M}$ de ordem ${\displaystyle m}$ por ${\displaystyle n}$.

Matriz inversa[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Matriz inversa

Uma matriz ${\displaystyle A^{-1}}$ é dita inversa de uma matriz ${\displaystyle A,}$ se obedece às equações matriciais ${\displaystyle A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I,}$ ou seja, se o produto entre as matrizes é a Matriz identidade.^[2] A analogia com os números reais é evidente, pois assim como o produto entre dois números inversos é a unidade (elemento neutro da multiplicação), o produto entre duas matrizes inversas é a matriz identidade (elemento neutro da multiplicação entre matrizes). Uma matriz que possui inversa é dita inversível.

A condição necessária e suficiente para que uma matriz quadrada seja inversível é possuir um determinante não nulo, sendo que para uma dada matriz ${\displaystyle A,}$ a matriz inversa é única. A necessidade de possuir determinante não nulo é evidente na equação ${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\det(\mathbf {A} )^{-1}\cdot {\mbox{adj}}(\mathbf {A} ),}$ pois nela o determinante da matriz original é denominador de uma fração.

Matriz transposta[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: matriz transposta

A matriz transposta de uma matriz ${\displaystyle A_{m\times n}}$ é a matriz ${\displaystyle A_{n\times m}^{\intercal }}$ em que ${\displaystyle a_{ij}^{\intercal }=a_{ji},}$ ou seja, todos os elementos da primeira linha, tornar-se-ão elementos da primeira coluna, todos os elementos da segunda linha, tornar-se-ão elementos da segunda coluna, todos os elementos da linha ${\displaystyle n,}$ tornar-se-ão elementos da coluna ${\displaystyle n.}$ Exemplo: ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}},A^{\intercal }={\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}.}$

Matriz simétrica[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Matriz simétrica

Uma matriz ${\displaystyle A}$ é simétrica se ${\displaystyle A=A^{\intercal }.}$ Isso só ocorre com matrizes quadradas.

Um tipo especial de matriz simétrica é a matriz idempotente.

Matriz positiva/negativa (semi)definida[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Matriz positiva definida

A classificação de uma matriz em positiva ou negativa definida ou semi-definida é similar à classificação dos números reais em positivos ou negativos.

Seja ${\displaystyle M}$ uma matriz quadrada de dimensão ${\displaystyle n\times n}$ e ${\displaystyle z}$ um vetor não nulo (ou seja, que tenha pelo menos um elemento diferente de zero) de dimensão ${\displaystyle n\times 1.}$ Note que se ${\displaystyle n=1,}$ temos a definição de número real positivo ou negativo.

Tipo de matriz	Semi-definida	Definida
Positiva	${\displaystyle M}$ positiva semidefinida se ${\displaystyle z^{\intercal }Mz\geq 0,\forall z\in \mathbb {R} ^{n}}$	${\displaystyle M}$ é positiva definida se ${\displaystyle z^{\intercal }Mz>0,\forall z\in \mathbb {R} ^{n}}$
Negativa	${\displaystyle M}$ é negativa semidefinida se ${\displaystyle z^{\intercal }Mz\leq 0,\forall z\in \mathbb {R} ^{n}}$ [1]	${\displaystyle M}$ é negativa definida se ${\displaystyle z^{\intercal }Mz<0,\forall z\in \mathbb {R} ^{n}}$

Operações envolvendo matrizes[editar | editar código-fonte]

Não se define adição ou subtração de um número com uma matriz, e nem divisões envolvendo matrizes.

Multiplicação de um número real por uma matriz[editar | editar código-fonte]

A multiplicação de um número real por uma matriz é uma das operações mais simples que podem ser feitas com matrizes. Para multiplicar um número ${\displaystyle k}$ real qualquer por uma matriz ${\displaystyle n\times m}$ ${\displaystyle A,}$ basta multiplicar cada elemento ${\displaystyle a_{ij}}$ de ${\displaystyle A}$ por ${\displaystyle k.}$ Assim, a matriz resultante ${\displaystyle B}$ será também ${\displaystyle n\times m}$ e ${\displaystyle b_{ij}=k\cdot a_{ij}.}$^[3] Com isso, pode-se pensar também na noção de dividir uma matriz por um número: basta multiplicá-la pelo inverso desse número. Mas essa noção pode ser perigosa: enquanto a multiplicação entre um número e uma matriz pode ser dita "comutativa", o mesmo não vale para a divisão, pois não se pode dividir um número por uma matriz.

Por exemplo:

${\displaystyle 2{\begin{bmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\times 1&2\times 8&2\times -3\\2\times 4&2\times -2&2\times 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&16&-6\\8&-4&10\end{bmatrix}}}$

Adição e subtração entre matrizes[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Adição de matrizes

Dado as matrizes ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ do tipo ${\displaystyle m}$ por ${\displaystyle n,}$ sua soma ${\displaystyle A+B}$ é a matriz ${\displaystyle m}$ por ${\displaystyle n}$ computada adicionando os elementos correspondentes:^[4]

${\displaystyle (A+B)[i,j]=A[i,j]+B[i,j].}$

Por exemplo:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}}$

Para melhorar a forma de calcular, você pode reescrever a segunda matriz, revertendo seus elementos, onde o elemento (-1) passará para (1) e o elemento (2) passará para (-2) e assim sucessivamente. Após feito isso, além de fazer ${\displaystyle A-B,}$ você usará ${\displaystyle A+B.}$

Lembre-se: Você só pode fazer isso com uma matriz negativa, onde recebe o sinal negativo, por exemplo: em ${\displaystyle -A+B,}$ o ${\displaystyle A}$ que poderá ser reescrito.

Multiplicação de matrizes[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Produto de matrizes

Multiplicação de duas matrizes é bem definida apenas se o número de colunas da matriz da esquerda é o mesmo número de linhas da matriz da direita. Se ${\displaystyle A}$ é uma matriz ${\displaystyle m}$ por ${\displaystyle n}$ e ${\displaystyle B}$ é uma matriz ${\displaystyle n}$ por ${\displaystyle p,}$ então seu produto ${\displaystyle AB}$ é a matriz ${\displaystyle m}$ por ${\displaystyle p}$ (${\displaystyle m}$ linhas e ${\displaystyle p}$ colunas) dada por:^[5]

${\displaystyle (AB)[i,j]=A[i,1]B[1,j]+A[i,2]B[2,j]+...+A[i,n]B[n,j]}$

para cada par ${\displaystyle i}$ e ${\displaystyle j.}$

Por exemplo:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&2\\-1&3&1\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}3&1\\2&1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(1\times 3+0\times 2+2\times 1)&(1\times 1+0\times 1+2\times 0)\\(-1\times 3+3\times 2+1\times 1)&(-1\times 1+3\times 1+1\times 0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5&1\\4&2\\\end{bmatrix}}}$

É importante notar que a multiplicação de matrizes não é comutativa, isto é, existem matrizes ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ tais que ${\displaystyle AB\not =BA.}$

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Determinante[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Determinante

O determinante é uma propriedade matricial útil na resolução de sistema de equações lineares (que sempre podem ser representados através de matrizes), além de outras aplicações matemáticas.

Transposta da multiplicação[editar | editar código-fonte]

Para respeitar a correspondência entre linhas e colunas de uma multiplicação, a transposta de uma multiplicação de matrizes é dada como a transposta de cada matriz multiplicada na ordem inversa.

Para o caso de duas matrizes:

${\displaystyle (A\cdot B)^{\intercal }=B^{\intercal }\cdot A^{\intercal }}$

No caso de várias matrizes:

${\displaystyle (A\cdot B\cdot C\cdot \ldots \cdot N)^{\intercal }=N^{\intercal }\cdot \ldots \cdot B^{\intercal }\cdot A^{\intercal }.}$

Característica[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Posto matricial

A característica ou posto de uma matriz é um inteiro não negativo que representa o número máximo de linhas (ou colunas) da matriz que são linearmente independentes.^[6]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Outros projetos Wikimedia também contêm material sobre este tema:
	Livros e manuais no Wikilivros

• O conjunto das matrizes ${\displaystyle n\times m}$ sobre um corpo ${\displaystyle F}$ com as operações de soma de matrizes e multiplicação de escalar por matriz forma um espaço vetorial de dimensão ${\displaystyle nm}$ sobre ${\displaystyle F.}$
• O espaço vetorial das matrizes ${\displaystyle n\times n}$ sobre um corpo ${\displaystyle F}$ com a operação de multiplicação de matrizes forma uma álgebra associativa com elemento identidade sobre o corpo ${\displaystyle F.}$
• O conceito de matriz pode ser generalizado para o de tensor. Assim como uma matriz ${\displaystyle m\times n}$ representa uma transformação linear de um espaço de dimensão ${\displaystyle n}$ em um espaço de dimensão ${\displaystyle m}$, um tensor representa uma transformação n-linear que leva ${\displaystyle n_{1}}$ vetores em ${\displaystyle n_{2}.}$

Referências

1. ↑ ^{Ir para:a b c} MAS-COLELL, Andreu; WHINSTON, Michael e GREEN, Jerry. Microeconomic Theory. Oxford University press, 1995. Section M.D matrices: Negative (Semi)Definiteness and Other properties, página 936.
2. Ir para cima↑ Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 27
3. Ir para cima↑ Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 19-20
4. Ir para cima↑ Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 18
5. Ir para cima↑ Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 20
6. Ir para cima↑ Condensação e característica de uma matriz, Universidade dos Açores

• Callioli, Carlos A.; Hygino H. Domingues; Roberto C. F. Costa. Álgebra Linear e Aplicações. 6 ed. São Paulo: Atual, 1990. ISBN 9788570562975

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