MONOIDE

Em álgebra abstrata, um monoide é uma estrutura algébrica com uma única operação binária, associativa e com um elemento neutro^[1].

Monoides ocorrem em alguns ramos da matemática. Em geometria, um monoide captura a ideia de composição de função. Essa noção é abstraída da teoria das categorias, no qual o monoide é uma categoria com um objeto. Os monoides são usados comumente para fornecer fundações algébricas à ciência da computação. Nesse caso, alguns tipos de monoides são usados para descrever uma máquina de estado finito.

Definição formal[editar | editar código-fonte]

Um monoide pode ser definido de três maneiras completamente equivalentes. Sendo '*' uma operação qualquer:

1. é um conjunto G dotado de uma operação binária para a qual valem as seguintes propriedades:
   1. fechamento: dado ${\displaystyle a,b\in G}$ o elemento resultante da composição de a e b pertence a G (${\displaystyle a*b\in G}$)
   2. associatividade: para todos ${\displaystyle a,b,c\in G}$ vale ${\displaystyle \left(a*b\right)*c=a*\left(b*c\right)=a*b*c}$
   3. existência do elemento neutro: existe um único ${\displaystyle e}$ tal que para todo ${\displaystyle a\in G}$ vale ${\displaystyle \left(a*e\right)=a=\left(e*a\right)}$
2. é um grupoide dotado das propriedades:
   1. associativa (associatividade) para todos ${\displaystyle a,b,c\in G}$ vale ${\displaystyle \left(a*b\right)*c=a*\left(b*c\right)=a*b*c}$
   2. existencia de um elemento neutro e tal que existe um único e tal que para todo ${\displaystyle a\in G}$ vale ${\displaystyle \left(a*e\right)=a=\left(e*a\right)}$
3. é um semi-grupo dotado da existencia de um elemento neutro e: existe um único e tal que para todo ${\displaystyle a\in G}$ vale ${\displaystyle \left(a*e\right)=a=\left(e*a\right)}$.

Um monoide para o qual todo elemento possui elemento inverso é um grupo.

Um monoide é puro quando o único elemento que possui inverso é a identidade^[2].

Propriedades[editar | editar código-fonte]

• Em um monoide, se um elemento tem um inverso, então o inverso é único^[2].
• O conjunto dos elementos inversíveis de um monoide M, Inv M, é um grupo^[2].

Outros projetos Wikimedia também contêm material sobre este tema:
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Referências

1. Ir para cima↑ Monoid, no site C++ Boost
2. ↑ ^{Ir para:a b c} Invertible Elements, Pure Monoids, no site do Departmento of Mathematics da Carnegie Mellon University

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Categoria: 

• Estruturas algébricas