POLIGONO

Em geometria, um polígono é uma figura com lados, fechada. A palavra "polígono" vem da palavra em grego "polígonos" que significa ter muitos lados ou ângulos.^[1] A definição usada por Euclides para polígono era uma figura limitada por linhas retas, sendo que estas linhas deveriam ser mais de quatro, e figura qualquer região do plano cercada por uma ou mais bordas.^[2]

Índice

  [esconder] 

• 1Definição
  • 1.1Linha poligonal
    • 1.1.1Classificação
  • 1.2Polígono
• 2Elementos
  • 2.1Exemplo
  • 2.2Perímetro e Área
• 3Classificação
  • 3.1Quanto à linha poligonal
  • 3.2Quanto à região poligonal
    • 3.2.1Convexidade
    • 3.2.2Tipos de não-convexidade^{[carece de fontes?]}
  • 3.3Quanto à congruência
  • 3.4Quanto ao número de lados
    • 3.4.1Nomenclatura para polígonos com muitos lados
      • 3.4.1.1Exemplo 1
      • 3.4.1.2Exemplo 2
    • 3.4.2Nomenclatura alternativa
• 4Propriedades
  • 4.1Vértices e lados
  • 4.2Diagonais
  • 4.3Ângulos
• 5Mitologia
• 6Ver também
• 7Referências
• 8Ligações externas

Definição[editar | editar código-fonte]

Linha poligonal aberta simples

Linha poligonal[editar | editar código-fonte]

Linha poligonal aberta não-simples

Linha poligonal é uma sucessão de segmentos consecutivos e não-colineares, dois a dois. Denotamos uma linha poligonal fornecendo a sequência dos pontos extremos dos segmentos que a formam. Ou seja, a linha poligonal ${\displaystyle A_{1}A_{2}A_{3}\cdots A_{n-1}A_{n}}$ corresponde a reunião dos segmentos ${\displaystyle {\overline {A_{1}A_{2}}},}$ ${\displaystyle {\overline {A_{2}A_{3}}},}$ ..., ${\displaystyle {\overline {A_{n-1}A_{n}}}.}$ ^{[carece de fontes]}

Classificação[editar | editar código-fonte]

Uma linha poligonal ${\displaystyle A_{1}A_{2}A_{3}\cdots A_{n-1}A_{n}}$ é classificada em:

• aberta - quando os extremos ${\displaystyle A_{1}}$ e ${\displaystyle A_{n}}$ não coincidem;
• fechada - quando os extremos ${\displaystyle A_{1}}$ e ${\displaystyle A_{n}}$ coincidem;
• simples - quando a interseção de qualquer dois segmentos não consecutivos é vazia;
• não-simples - quando não é simples.

Polígono[editar | editar código-fonte]

Um polígono ${\displaystyle A_{1}A_{2}A_{3}\cdots A_{n-1}A_{n}.}$ As linhas tracejadas indicam os vários segmentos que o polígono pode ter.

Polígono é a região plana limitada por uma linha poligonal fechada. Denotamos um polígono de forma similar a que denotamos uma linha poligonal. Isto é, um polígono ${\displaystyle A_{1}A_{2}A_{3}\cdots A_{n-1}A_{n}}$ corresponde à região limitada pela reunião dos segmentos ${\displaystyle {\overline {A_{1}A_{2}}},}$ ${\displaystyle {\overline {A_{2}A_{3}}},}$ ..., ${\displaystyle {\overline {A_{n-1}A_{n}}}}$ e ${\displaystyle {\overline {A_{n}A_{1}}}.}$ ^[3]

Na literatura, também encontramos o termo polígono como sinônimo de linha poligonal fechada. Neste caso, a região plana limitada pelo polígono é chamada de seu interior e a união do polígono com seu interior é chamada de região poligonal ou superfície poligonal.^[3]

Elementos[editar | editar código-fonte]

Um polígono ${\displaystyle A_{1}A_{2}A_{3}\cdots A_{n-1}A_{n}}$ possui os seguintes elementos:^[3]

• vértice - extremo de um dos segmentos que formam o polígono, i.e. são vértices os pontos ${\displaystyle A_{1},}$ ${\displaystyle A_{2},}$ ${\displaystyle A_{3},}$ ..., ${\displaystyle A_{n};}$
• lado - segmento que forma o polígono, i.e. são lados os segmentos ${\displaystyle {\overline {A_{1}A_{2}}},}$ ${\displaystyle {\overline {A_{2}A_{3}}},}$ ..., ${\displaystyle {\overline {A_{n-1}A_{n}}}}$ e ${\displaystyle {\overline {A_{n}A_{1}}};}$
• diagonais - segmentos de reta com extremidades em vértices não consecutivos;
• ângulo (interno) - ângulo formado por dois lados consecutivos, i.e. os ângulos ${\displaystyle {\hat {A}}_{1}=A_{n}{\hat {A}}_{1}A_{2},}$ ${\displaystyle {\hat {A}}_{2}=A_{1}{\hat {A}}_{2}A_{3},}$ ..., ${\displaystyle {\hat {A}}_{n}=A_{n-1}{\hat {A}}_{n}A_{1};}$
• ângulo externo - ângulo suplementar e adjacente a um ângulo interno.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

O polígono ${\displaystyle ABCDE}$ na figura ao lado possui:

• vértices ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle D,}$ ${\displaystyle E;}$
• lados ${\displaystyle {\overline {AB}},}$ ${\displaystyle {\overline {BC}},}$ ${\displaystyle {\overline {CD}},}$ ${\displaystyle {\overline {DE}}}$ e ${\displaystyle {\overline {EA}};}$
• ângulos internos ${\displaystyle {\hat {a}},}$ ${\displaystyle {\hat {b}},}$ ${\displaystyle {\hat {c}},}$ ${\displaystyle {\hat {d}},}$ ${\displaystyle {\hat {e}};}$
• diagonais ${\displaystyle {\overline {AC}},}$ ${\displaystyle {\overline {AD}},}$ ${\displaystyle {\overline {BD}},}$ ${\displaystyle {\overline {BE}}}$ e ${\displaystyle {\overline {CE}};}$
• ângulos externos ${\displaystyle {\hat {a}}_{1},}$ ${\displaystyle {\hat {b}}_{1},}$ ${\displaystyle {\hat {c}}_{1},}$ ${\displaystyle {\hat {d}}_{1}}$ e ${\displaystyle {\hat {e}}_{1}.}$

Perímetro e Área[editar | editar código-fonte]

O perímetro de um polígono é a soma das medidas de seus lados. Sua área é a medida da região poligonal definida pelo polígono.

Classificação[editar | editar código-fonte]

Diferentes tipos de polígonos

Quanto à linha poligonal[editar | editar código-fonte]

Um polígono ${\displaystyle A_{1}A_{2}A_{3}\cdots A_{n-1}A_{n}}$ é classificado em:^[3]

• simples - quando sua linha poligonal associada é simples;
• não-simples (ou complexo) - quando sua linha poligonal tem cruzamentos entre seus segmentos (conjunto intersecção não-nulo).

Quanto à região poligonal[editar | editar código-fonte]

Convexidade[editar | editar código-fonte]

Um polígono simples é dito ser convexo quando toda reta determinada por dois de seus vértices consecutivos faz com que todos os demais vértices estejam num mesmo semiplano determinado por ela. Um polígono não convexo é dito ser côncavo.^[3]

Tipos de não-convexidade^{[carece de fontes]}[editar | editar código-fonte]

Pode-se caracterizar os polígonos de acordo com o tipo de não-convexidade. Um polígono é dito ser:

• Estrelado
  • Falso: pela sobreposição de polígonos;
  • Verdadeiro: formado por linhas poligonais fechadas não-simples;
• Entrecruzado: aquele em que o prolongamento dos lados ajuda a formar outro polígono.

Quanto à congruência[editar | editar código-fonte]

Um polígono é dito ser equilátero quando todos os seus lados são congruentes. Similarmente, é dito ser equiângulo quando todos os seus ângulos são congruentes. Polígonos convexos equiláteros e equiângulos são chamados de polígonos regulares.

Quanto ao número de lados[editar | editar código-fonte]

Os polígonos também são classificados quanto ao número de lados. Em geral, um polígono de ${\displaystyle n}$ lados é chamado de ${\displaystyle n}$-látero. Entretanto, comumente empregam-se as seguintes nomenclaturas:^[3]

Nomes dos polígonos

Lados	Nome	Lados	Nome	Lados	Nome
1	não existe	11	undecágono	...	...
2	não existe	12	dodecágono
3	triângulo ou trilátero	13	tridecágono	30	triacontágono
4	quadrilátero	14	tetradecágono	40	tetracontágono
5	pentágono	15	pentadecágono	50	pentacontágono
6	hexágono	16	hexadecágono	60	hexacontágono
7	heptágono	17	heptadecágono	70	heptacontágono
8	octógono	18	octodecágono	80	octacontágono
9	eneágono	19	eneadecágono	90	eneacontágono
10	decágono	20	icoságono	100	hectágono

Nomenclatura para polígonos com muitos lados[editar | editar código-fonte]

Para se construir o nome de um polígono com mais de 20 lados e menos de 100 lados, basta se combinar os prefixos e os sufixos a seguir:^{[carece de fontes]}

Dezenas		e	Unidades		sufixo
		-kai-	1	hena-	-gono
20	icosa-		2	-di-
30	triaconta-		3	-tri-
40	tetraconta-		4	-tetra-
50	pentaconta-		5	-penta-
60	hexaconta-		6	-hexa-
70	heptaconta-		7	-hepta-
80	octaconta-		8	-octa-
90	eneaconta-		9	-enea-

Exemplo 1[editar | editar código-fonte]

Um polígono de 42 lados deve ser nomeado da seguinte maneira:

Dezenas	e	Unidades	sufixo	nome completo do polígono
tetraconta-	-kai-	-di-	-gono	tetracontakaidigono

Exemplo 2[editar | editar código-fonte]

Um polígono de 50 lados da seguinte forma:

Dezenas	e	Unidades	sufixo	nome completo do polígono
pentaconta-			-gono	pentacontagono

Nomenclatura alternativa[editar | editar código-fonte]

Alguns polígonos possuem nomes alternativos, como os seguintes:^{[carece de fontes]}

Lados	Nome
22	docoságono
25	pentacoságono
1000	quilógono
1.000.000	megágono
1.000.000.000	gigágono
10100	googólgono

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Podemos observar uma série de relações entre os diversos elementos de um polígono.^[3] Aqui, apresentamos algumas destas propriedades.

Vértices e lados[editar | editar código-fonte]

O número de lados e o número de ângulos de um polígono é igual ao seu número de vértices.

Diagonais[editar | editar código-fonte]

• De cada vértice de um polígono de ${\displaystyle n}$ lados, saem ${\displaystyle n-3}$ diagonais. Com efeito, um polígono de ${\displaystyle n}$ lados têm ${\displaystyle n}$ vértices. De um dado vértice formamos ${\displaystyle n-1}$ segmentos de reta com cada um dos outros ${\displaystyle n-1}$ vértices. Agora, observamos que dois destes segmentos são lados do polígono, portanto, de cada vértice partem ${\displaystyle n-3}$ diagonais.
• O número de diagonais ${\displaystyle d}$ de um polígono ${\displaystyle n}$-látero é:
  $${\displaystyle d={\frac {n(n-3)}{2}}.}$$

  
  Com efeito, a combinação de seus ${\displaystyle n}$ vértices dois a dois fornece o número total de segmentos de reta que podem ser construídos usando todos os seus vértices. Deste número, ${\displaystyle n}$ são lados do polígono e o restante são diagonais, i.e.:
  $${\displaystyle d=C_{s}^{n}-n={\frac {n!}{2!(n-2)!}}-n={\frac {n(n-1)}{2}}-n={\frac {n(n-3)}{2}}.}$$

  
• Em um polígono convexo de ${\displaystyle n}$ lados, o número de triângulos formados por diagonais que saem de cada vértice é dado por ${\displaystyle n-2.}$ De fato, ${\displaystyle n-3}$ diagonais partem de cada vértice determinando, com os lados do polígono, ${\displaystyle n-2}$ triângulos.

Ângulos[editar | editar código-fonte]

• A soma das medidas dos ângulos internos ${\displaystyle S_{i}}$ de um polígono convexo de ${\displaystyle n}$ lados é dada por:
  $${\displaystyle S_{i}=(n-2)\cdot 180^{\circ }}$$

  
  Com efeito, as diagonais que partem de um dado vértice formam ${\displaystyle n-2}$ triângulos. Observamos que ${\displaystyle S_{i}}$ é igual a soma dos ângulos internos destes ${\displaystyle n-2}$ triângulos, i.e. ${\displaystyle S_{i}=(n-2)\cdot 180^{\circ }.}$
• A soma das medidas dos ângulos externos ${\displaystyle S_{e}}$ de um polígono convexo de ${\displaystyle n}$ lados é igual a ${\displaystyle 360^{\circ }.}$ Com efeito, sejam ${\displaystyle {\hat {a}}_{i}}$ e ${\displaystyle {\hat {b}}_{i}}$ os respectivos ângulos interno e externo do ${\displaystyle i}$-ésimo vértice de um polígono ${\displaystyle n}$-látero. Por definição, temos ${\displaystyle {\hat {a}}_{i}+{\hat {b}}_{i}=180^{\circ }}$ para todo ${\displaystyle i=1,\ldots ,n.}$ Daí, segue que:
  $${\displaystyle 180^{\circ }n=\sum _{i=1}^{n}{\hat {a}}_{i}+{\hat {b}}_{i}=S_{i}+S_{e}=180^{\circ }(n-2)+S_{e}}$$

  
  donde, vemos que ${\displaystyle S_{e}=360^{\circ }.}$
• A medida do ângulo interno ${\displaystyle {\hat {a}}_{i}}$ de um polígono regular de ${\displaystyle n}$ lados é dada por:
  $${\displaystyle {\hat {a}}_{i}={\frac {(n-2).180^{\circ }}{n}}}$$

  
• A medida do ângulo externo ${\displaystyle a_{e}}$ de um polígono regular de ${\displaystyle n}$ lados é dada por:
  $${\displaystyle a_{e}={\frac {360^{\circ }}{n}}.}$$

  
• A soma das medidas dos ângulos centrais de um polígono regular de ${\displaystyle n}$ lados (${\displaystyle S_{c}}$) é igual a ${\displaystyle 360^{\circ }.}$
• A medida do ângulo central de um polígono regular de ${\displaystyle n}$ lados (${\displaystyle a_{c}}$) é dada por:
  $${\displaystyle a_{c}={\frac {360^{\circ }}{n}}.}$$

  

Mitologia[editar | editar código-fonte]

Segundo Eudoxo, citado por Plutarco, os pitagóricos associavam cada polígono a um (ou mais) deuses. O triângulo pertencia a Hades, Dionísio e Ares, o quadrilátero a Reia, Afrodite, Deméter, Héstia e Hera, o dodecágono a Zeus e o polígono de cinquenta e seis lados à criatura demoníaca Tifão.^[4]

Ver também[editar | editar código-fonte]

• Poliedro

Referências

1. Ir para cima↑ «Dicionário Priberam da Língua Portuguesa: polígono». Priberam Informática. Consultado em 3 de dezembro de 2014
2. Ir para cima↑ Euclides, Os Elementos, Livro I, Definição 23 [em linha]
3. ↑ ^{Ir para:a b c d e f g} Dolce, O.. Fundamentos de Matemática Elementar. 9 ed. [S.l.]: Atual, 2013. ISBN 9788535716863
4. Ir para cima↑ Eudoxo, citado por Plutarco, Moralia, Ísis e Osíris, 30 [em linha]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

• Geometria: Polígonos e triângulos

[Esconder] v • e Polígonos
De 3 a 10 lados	Triângulo Quadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octógono Eneágono Decágono
De 11 a 20 lados	Hendecágono Dodecágono Triscaidecágono Tetradecágono Pentadecágono Hexadecágono Heptadecágono Octodecágono Eneadecágono 20 Lados
De 21 a 100 lados	Hendoságono Docoságono Pentacoságono Triacontágono Tetracontágono Pentacontágono Hexacontágono Heptacontágono Octacontágono Eneacontágono Hectágono
Outros	Quilógono Megágono Gigágono Googólgono
Estrelas de 5 a 10 lados	Pentagrama Hexagrama Heptagrama Octograma Eneagrama Decágrama
Estrelas de 11 a 20 lados	11 Pontas

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