SUBCONJUNTO

Em teoria dos conjuntos, quando todo elemento de um conjunto {\displaystyle A} A é também elemento de um conjunto {\displaystyle B} B dizemos que {\displaystyle A} A é um subconjunto ou uma parte de {\displaystyle B} B; e denotamos {\displaystyle A\subseteq B} A \subseteq B (lê-se: {\displaystyle A} A está contido em {\displaystyle B} B; ou {\displaystyle A} A é subconjunto de {\displaystyle B} B; ou {\displaystyle A} A é uma parte de {\displaystyle B} B) ou ainda {\displaystyle B\supseteq A} B \supseteq A (lê-se: {\displaystyle B} B contém {\displaystyle A} A; ou {\displaystyle B} B é superconjunto de {\displaystyle A} A; ou {\displaystyle B} B tem {\displaystyle A} A como parte)[1]. Esta relação é conhecida por inclusão de conjuntos. Em linguagem simbólica,

{\displaystyle A\subseteq B{\stackrel {\mathbf {def} }{=\!=}}\forall x(x\in A\rightarrow x\in B).} A \subseteq B \stackrel {\mathbf {def}} {=\!=}  \forall x(x \in A \rightarrow x \in B).
Índice  [esconder]
1 Propriedades
2 Subconjunto próprio
3 Exemplos
4 Ver também
5 Notas
6 Referências
7 Ligações externas
Propriedades[editar | editar código-fonte]
A inclusão de conjuntos é uma relação reflexiva, ou seja, {\displaystyle A\subseteq A} A\subseteq A qualquer que seja o conjunto {\displaystyle A} A.
Realmente, a condicional {\displaystyle p\rightarrow p} p \rightarrow p é uma tautologia. Assim, {\displaystyle x\in A\rightarrow x\in A} x\in A \rightarrow x \in A tanto se {\displaystyle x\in A} x\in A como também se {\displaystyle x\not \in A} x\not\in A. E, por definição, {\displaystyle \forall x(x\in A\rightarrow x\in A)\Rightarrow A\subseteq A} \forall x(x\in A \rightarrow x\in A) \Rightarrow  A\subseteq A.
A inclusão de conjuntos é uma relação transitiva, ou seja, se {\displaystyle A\subseteq B} A \subseteq B e {\displaystyle B\subseteq C} B\subseteq C, então {\displaystyle A\subseteq C} A\subseteq C.
Se {\displaystyle A=\varnothing } A = \varnothing, {\displaystyle A\subseteq C} A \subseteq C (e assumir que {\displaystyle B\subseteq C} B \subseteq C é irrelevante). Então, assuma que {\displaystyle A\neq \varnothing } A \neq \varnothing e seja {\displaystyle x\in A} x \in A. Por hipótese, {\displaystyle A\subseteq B} A \subseteq B e, pela definição de inclusão, {\displaystyle x\in B} x \in B. Assim, {\displaystyle B\neq \varnothing } B \neq \varnothing. Também por hipótese {\displaystyle B\subseteq C} B \subseteq C, isto é, se {\displaystyle y\in B} y \in B também {\displaystyle y\in C} y \in C. Em particular, para {\displaystyle y=x} y = x temos {\displaystyle x\in C} x \in C. Como {\displaystyle x\in A} x \in A era arbitrário, todo elemento de {\displaystyle A} A é também elemento de {\displaystyle C} C, ou seja, {\displaystyle A\subseteq C} A \subseteq C.
A inclusão de conjuntos é uma relação anti-simétrica, ou seja, se {\displaystyle A\subseteq B} A \subseteq B e {\displaystyle B\subseteq A} B \subseteq A, então {\displaystyle A=B} A = B.
De fato, isto é o que diz o axioma da extensão.
Pelas três propriedades acima, dado um conjunto não-vazio {\displaystyle A} A e uma coleção {\displaystyle {\mathcal {C}}} \mathcal{C} de subconjuntos de {\displaystyle A} A, a relação de inclusão {\displaystyle \subseteq } \subseteq é uma relação de ordem parcial em {\displaystyle {\mathcal {C}}} \mathcal{C}.
A inclusão de conjuntos é a relação de ordem parcial canônica — no sentido de que todo conjunto parcialmente ordenado (X, {\displaystyle \preceq } \preceq) é isomorfo a alguma coleção de conjuntos ordenada pela inclusão. Os números ordinais constituem um exemplo simples — se cada ordinal {\displaystyle n} n é identificado com o conjunto {\displaystyle [n]} [n] de todos os ordinais menores ou igual a {\displaystyle n} n, então {\displaystyle a\leq b} a \leq b se e somente se {\displaystyle [a]\subseteq [b]} [a] \subseteq [b].
Subconjunto próprio[editar | editar código-fonte]
Dizemos que um conjunto {\displaystyle B} B é um subconjunto próprio de um conjunto {\displaystyle A} A se {\displaystyle B\subseteq A} B \subseteq A ( {\displaystyle B} B é subconjunto de {\displaystyle A} A) e {\displaystyle B\neq A} B \neq A ( {\displaystyle B} B é diferente de {\displaystyle A} A). Explicitamos este fato com a notação especial {\displaystyle B\subsetneq A} B \subsetneq A; ou ainda {\displaystyle A\supsetneq B} A\supsetneq B (lê-se: A é um superconjunto próprio de B). Isto quer dizer que {\displaystyle B} B está estritamente contido em {\displaystyle A} A, ou seja, existe pelo menos um {\displaystyle x\in A} x \in A tal que {\displaystyle x\not \in B} x \not\in B. Em particular, o conjunto vazio é um subconjunto próprio de todo conjunto não-vazio. E, evidentemente, {\displaystyle A} A é o único subconjunto de um conjunto {\displaystyle A\neq \varnothing } A\neq\varnothing que não é próprio. Assim, dizemos que {\displaystyle A} A é um subconjunto impróprio (superconjunto impróprio) de {\displaystyle A} A.

Exemplos[editar | editar código-fonte]
O conjunto vazio é um subconjunto de qualquer conjunto dado.
O conjunto {1, 2} é um subconjunto próprio de {1, 2, 3}.
O conjunto {x : x é um número primo maior do que 10} é um subconjunto próprio de {x : x é um número ímpar maior do que 10}.
O conjunto dos números naturais é um subconjunto próprio do conjunto dos números inteiros, com a mesma cardinalidade.
O conjunto dos números naturais é um subconjunto próprio do conjunto dos números reais, com cardinalidade inferior.
Ver também[editar | editar código-fonte]
Conjunto potência
Função inclusão
Notas[editar | editar código-fonte]
Ir para cima ↑ Uma notação alternativa para {\displaystyle A} A é subconjunto de {\displaystyle B} B, tão comum quanto {\displaystyle A\subseteq B} A \subseteq B, é {\displaystyle A\subset B} A \subset B. Similarmente, usa-se também {\displaystyle B\supset A} B \supset A para denotar que {\displaystyle B} B é superconjunto de {\displaystyle A} A.
Referências[editar | editar código-fonte]
Jech, Thomas. Set Theory. [S.l.]: Springer-Verlag, 2002. ISBN 3-540-44085-2
Ligações externas[editar | editar código-fonte]
"Subset", "Superset", "Proper Subset" e "Improper Subset" in MathWorld (em inglês)
"Subset" in ProofWiki (em inglês)


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Categoria: Teoria dos conjuntos