DETERMINANTE

Em matemática, determinante é uma função matricial que associa a cada matriz quadrada um escalar; ela transforma essa matriz em um número real.^[1] Esta função permite saber se a matriz tem ou não inversa, pois as que não têm são precisamente aquelas cujo determinante é igual a 0.

Índice

  [esconder] 

• 1Definição
• 2Propriedades
• 3Determinante de uma matriz de ordem 1
• 4Determinante de matriz de ordem 2
• 5Determinante de matriz de terceira ordem
• 6Determinantes de ordem maior ou igual a 4
  • 6.1Exemplo com uma matriz 4x4
  • 6.2Caso geral
• 7Matrizes ${\displaystyle n}$ por ${\displaystyle n}$
• 8Cálculo de determinantes por triangularização
• 9Ver também
• 10Notas e referências
  • 10.1Notas
  • 10.2Referências
• 11Bibliografia

Definição[editar | editar código-fonte]

Seja ${\displaystyle M}$ o conjunto das matrizes com ${\displaystyle n}$ linhas e ${\displaystyle n}$ colunas sobre um corpo ${\displaystyle K.}$ Pode-se provar que existe uma única função ${\displaystyle f}$ com as seguintes propriedades:

1. ${\displaystyle f}$ é n-linear e alternada nas linhas das matrizes;
2. ${\displaystyle f(I_{n})=1,}$ onde ${\displaystyle I_{n}}$ é a matriz identidade.

Esta função ${\displaystyle f}$ denomina-se de determinante.

O determinante de uma matriz ${\displaystyle A}$ representa-se por ${\displaystyle |A|}$ ou por ${\displaystyle det(A).}$ ^{[Nota 1]}

Propriedades[editar | editar código-fonte]

1. O determinante da matriz identidade é um:^[2]
      ${\displaystyle \left|I_{n}\right|=1}$
2. O determinante de uma matriz é igual ao determinante da sua transposta:
      ${\displaystyle \left|A\right|=\left|A^{T}\right|}$
3. Se uma matriz quadrada é invertível então, o determinante da sua inversa é o inverso do seu determinante:
      ${\displaystyle \left|A^{-1}\right|={\frac {1}{\left|A\right|}}.}$ Resulta desta propriedade ainda, que para matrizes invertíveis, verifica-se que ${\displaystyle \left|A\right|\neq 0}$
4. Em duas matrizes quadradas da mesma ordem, o determinante do produto é o produto dos determinantes:^[3]
      ${\displaystyle \left|AB\right|=\left|A\right|\left|B\right|}$
5. O determinante da multiplicação de um escalar por uma matriz quadrada de ordem ${\displaystyle n,}$ resulta nesse escalar elevado a ${\displaystyle n}$ vezes o determinante dessa matriz:
      ${\displaystyle \left|\lambda A\right|=\lambda ^{n}\left|A\right|,}$ onde ${\displaystyle n}$ é a ordem da matriz ${\displaystyle A}$
6. Se ${\displaystyle A}$ é ortogonal, então
      ${\displaystyle \left|A\right|=\pm 1.}$
7. Se uma matriz é triangular (superior ou inferior) o seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
      Seja ${\displaystyle A}$ uma matriz triangular de ordem ${\displaystyle n,}$ então ${\displaystyle \left|A\right|=a_{1,1}a_{2,2}\cdots a_{n,n}=\prod _{i=1}^{n}a_{i,i}.}$
8. Se uma fila (linha ou coluna) da matriz ${\displaystyle A}$ é composta de zeros, então ${\displaystyle \left|A\right|=0;}$
9. Se escrevermos cada elemento de uma linha ou coluna de ${\displaystyle A}$ como soma de duas parcelas então ${\displaystyle \left|A\right|}$ é a soma de dois determinantes de ordem ${\displaystyle n}$ cada um considerando como elemento daquela linha ou coluna uma das parcelas, e repetindo as demais linhas ou colunas;
10. Multiplicando uma fila (linha ou coluna) de uma matriz ${\displaystyle A}$ por um escalar ${\displaystyle \lambda ,}$ então o determinante da nova matriz é igual ao determinante de ${\displaystyle A}$ multiplicado por ${\displaystyle \lambda ;}$
11. Se permutarmos duas linhas ou colunas de ${\displaystyle A}$ então o determinante da nova matriz é ${\displaystyle -\left|A\right|;}$
12. Se ${\displaystyle A}$ tem duas linhas (ou colunas) iguais, então ${\displaystyle \left|A\right|=0;}$
13. Se somarmos a uma linha (ou coluna) de ${\displaystyle A}$ um múltiplo de outra linha (ou coluna), o determinante da nova matriz é igual ao de ${\displaystyle A;}$

Determinante de uma matriz de ordem 1[editar | editar código-fonte]

O determinante da matriz ${\displaystyle A}$ de ordem ${\displaystyle n=1,}$ é o próprio número que origina a matriz. Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem ${\displaystyle M=[a_{11}]}$ temos que o determinante é o número real ${\displaystyle a_{11}:}$

$${\displaystyle det(M)=a_{11}.}$$

Por exemplo:

$${\displaystyle A=(3),}$$

então ${\displaystyle det(A)=3.}$

Determinante de matriz de ordem 2[editar | editar código-fonte]

A área do paralelogramo é o valor absoluto do determinate da matriz formada pelos vetores que representam seus lados.

O determinante de uma matriz de segunda ordem é a diferença entre o produto dos termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundária. Esses produtos se chamam, respectivamente, termo principal e termo secundário da matriz.

$${\displaystyle {\hbox{det}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=ad-bc.}$$

Por exemplo, o determinante da matriz ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&2\\1&-1\end{pmatrix}}}$ é dado por: ${\displaystyle 0.(-1)-2.1=0-2=-2.}$

Determinante de matriz de terceira ordem[editar | editar código-fonte]

O determinante de uma matriz 3x3 é calculado através de suas diagonais.

Para calcular o determinante de matrizes de terceira ordem, utilizamos a chamada regra de Sarrus, que resulta no seguinte cálculo:

$${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}=(aei+bfg+cdh)-(afh+bdi+ceg).}$$

• Por exemplo:

$${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&3&10\\-1&1&10\\0&2&10\end{pmatrix}}\Rightarrow {\begin{vmatrix}1&3&10\\-1&1&10\\0&2&10\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&3\\-1&1\\0&2\end{vmatrix}}}$$

$${\displaystyle \det(A)=((1.1.10)+(3.10.0)+(10.(-1).2))-((1.10.2)+(3.(-1).10)+(10.1.0))}$$

$${\displaystyle =(10+0+(-20))-((20+(-30)+0)}$$

$${\displaystyle =0}$$

Determinantes de ordem maior ou igual a 4[editar | editar código-fonte]

Para o cálculo de determinantes de matrizes quadradas de ordem superior a 3 utiliza-se o teorema de Laplace, que estabelece o seguinte:

O determinante de uma matriz é igual à soma dos produtos dos elementos de qualquer linha ou coluna pelos respectivos complementos algébricos.^[4]

O complemento algébrico de um elemento ${\displaystyle a_{i,j}}$ de uma matriz é o número ${\displaystyle A_{i,j}=(-1)^{i+j}\cdot \ MC_{i,j},}$ sendo ${\displaystyle MC_{i,j}}$ o determinante da matriz que se obtém eliminando da matriz original a linha i e a coluna j.

Na prática, isto equivale a reduzir o cálculo do determinante de uma matriz de ordem n ao cálculo de determinantes de matrizes de ordem n-1. O Teorema de Laplace pode ser aplicado as vezes que forem necessárias até obter matrizes de ordem 2 ou 3, cujo determinante é mais facilmente calculado através da regra de Sarrus.

A escolha da linha ou coluna da matriz a que se aplica este processo é indiferente, contudo, para maior simplicidade dos cálculos, convém escolher a linha ou coluna que contiver mais zeros.

Uma fórmula de somatório pode ser escrita como:

${\displaystyle det(A)=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}.a_{ij}.det(A_{-i-j})}$

Onde n é o número de linhas da matriz, i é a posição em relação às linhas, j é a posição em relação às colunas, e ${\displaystyle det(A_{-i-j})}$ é o determinante da submatriz que exclui a linha i e a coluna j.

Note que esse somatório depende apenas de suas colunas em relação a uma linha escolhida, portanto, como mencionado acima, procure escolher a coluna que contenha a maior quantidade de zeros.

Exemplo com uma matriz 4x4[editar | editar código-fonte]

Seja a matriz com 4 linhas e 4 colunas

$${\displaystyle A={\begin{pmatrix}{\color {Red}a_{11}}&{\color {YellowOrange}a_{12}}&{\color {ProcessBlue}a_{13}}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{pmatrix}}}$$

Aplicando a fórmula mencionada acima, temos:

${\displaystyle det(A)=\sum _{j=1}^{4}(-1)^{1+j}.a_{1j}.det(A_{-1-j})}$

Desenvolvendo o determinante pela primeira linha obtemos:

$${\displaystyle \det A={\color {Red}a_{11}}.(-1)^{1+1}.{\color {green}\det {\bigl (}A_{-1,-1}{\bigr )}}+{\color {YellowOrange}a_{12}}.(-1)^{1+2}.{\color {Magenta}det{\bigl (}A_{-1,-2}{\bigr )}}+{\color {ProcessBlue}a_{13}}.(-1)^{1+3}.det{\bigl (}A_{-1,-3}{\bigl )}+a_{14}.(-1)^{1+4}.det{\bigl (}A_{-1,-4}{\bigl )},}$$

onde A_−i,−j representa a matriz obtida a partir de A, com a retirada da i-ésima linha e da j-ésima coluna.

${\displaystyle \det A={\color {Red}a_{11}}.(-1)^{2}.{\color {Green}{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{vmatrix}}}+{\color {YellowOrange}a_{12}}.(-1)^{3}.{\color {Magenta}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{43}&a_{44}\end{vmatrix}}}+{\color {ProcessBlue}a_{13}}.(-1)^{4}.{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{44}\end{vmatrix}}+a_{14}.(-1)^{5}.{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}\end{vmatrix}}}$

Retorna-se ao cálculo de quatro determinantes de matrizes de terceira ordem. O cálculo é longo mas é fácil:

${\displaystyle \det A={\color {Red}a_{11}}.(1).{\color {Green}\{[a_{22}.a_{33}.a_{44}+a_{32}.a_{43}.a_{24}+a_{42}.a_{23}.a_{34}]-[a_{24}.a_{33}.a_{42}+a_{22}.a_{43}.a_{34}+a_{23}.a_{32}.a_{44}]\}}}$

${\textstyle +{\color {YellowOrange}a_{12}}.(-1).{\color {Magenta}\{[a_{21}.a_{33}.a_{44}+a_{31}.a_{43}.a_{24}+a_{41}.a_{23}.a_{34}]-[a_{24}.a_{33}.a_{41}+a_{34}.a_{43}.a_{21}+a_{44}.a_{31}.a_{23}]\}}}$${\displaystyle +{\color {ProcessBlue}a_{13}}.(1).\{[a_{21}.a_{31}.a_{44}+a_{31}.a_{41}.a_{24}+a_{41}.a_{22}.a_{34}]-[a_{24}.a_{31}.a_{41}+a_{34}.a_{41}.a_{21}+a_{44}.a_{31}.a_{22}]\}}$

${\displaystyle +a_{14}.(-1).\{[a_{21}.a_{31}.a_{43}+a_{31}.a_{41}.a_{23}+a_{41}.a_{22}.a_{33}]-[a_{23}.a_{31}.a_{41}+a_{33}.a_{41}.a_{21}+a_{43}.a_{31}.a_{22}]\}}$

Caso geral[editar | editar código-fonte]

Então definimos o determinante de ordem n desenvolvido pela i-ésima linha:

$${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\:&:&::&:\\a_{n-1,1}&a_{n-1,2}&\ldots &a_{n-1,n}\\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}}$$

${\displaystyle =\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}\cdot detA_{-i,-j}.}$

Matrizes ${\displaystyle n}$ por ${\displaystyle n}$[editar | editar código-fonte]

O determinante de uma matriz de tamanho arbitrário pode ser encontrado pela fórmula de Leibniz para determinante.

A fórmula de Leibniz para determinante de uma matriz A, ${\displaystyle n}$ por ${\displaystyle n}$ é

$${\displaystyle \det(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}A_{i,\sigma _{i}}.}$$

Cálculo de determinantes por triangularização[editar | editar código-fonte]

Tendo em vista a propriedade de que o determinante de uma matriz triangular é o seu termo principal (propriedade 5), a ideia é aplicar operações elementares sobre suas linhas, de modo a triangularizá-lo. Para isso devemos observar os efeitos que cada operação elementar pode ou não causar no valor do determinante procurado:

• Permutar linhas troca o sinal do determinante (propriedade 11);
• Multiplicar uma linha por um número real ${\displaystyle \lambda }$ não nulo, multiplica o determinante por ${\displaystyle \lambda }$ (propriedade 6);
• Somar a uma linha um múltiplo de outra não altera o determinante (propriedade 9).

Para triangularizar um determinante basta atentar para as possíveis compensações provocadas pelas operações elementares utilizadas e não há uma única maneira de realizar esse processo. O método é algorítmico, constituído de passos simples: a cada coluna, da primeira à penultima, deve-se obter zeros nas posições abaixo da diagonal principal. Veja o exemplo a seguir:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}2&-4&8\\5&4&6\\-3&0&2\end{vmatrix}}}$^[5]

$${\displaystyle L_{1}\leftarrow {\frac {1}{2}}L_{1}}$$

${\displaystyle =2\cdot {\begin{vmatrix}1&-2&4\\5&4&6\\-3&0&2\end{vmatrix}}}$

$${\displaystyle L_{2}\leftarrow L_{2}-5.L_{1}\land L_{3}\leftarrow L_{3}+3.L_{1}}$$

${\displaystyle =2\cdot {\begin{vmatrix}1&-2&4\\0&14&-14\\0&-6&14\end{vmatrix}}}$

$${\displaystyle L_{2}\leftarrow {\frac {1}{14}}L_{2}}$$

${\displaystyle =2\cdot 14\cdot {\begin{vmatrix}1&-2&4\\0&1&-1\\0&-6&14\end{vmatrix}}}$

$${\displaystyle L_{3}\leftarrow L_{3}+6.L_{2}}$$

${\displaystyle =2\cdot 14\cdot {\begin{vmatrix}1&-2&4\\0&1&-1\\0&0&8\end{vmatrix}}}$ ${\displaystyle =2\cdot 14\cdot 1\cdot 1\cdot 8=224}$

Ver também[editar | editar código-fonte]

• Matriz

Notas e referências

Notas

1. Ir para cima↑ A notação ${\displaystyle |\cdot |}$ foi introduzida pela primeira vez por volta de 1841 pelo matemático inglês Arthur Cayley (MacTutor).

Referências

1. Ir para cima↑ Carlos Alberto Campagner. «Determinante». UOL - Educação. Consultado em 28 de junho de 2013
2. Ir para cima↑ Callioli 1990, p. 205
3. Ir para cima↑ Callioli 1990, p. 219
4. Ir para cima↑ Teorema de Laplace
5. Ir para cima↑ «Confira este exemplo e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 19 de março de 2016

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

• Callioli, Carlos A.; Hygino H. Domingues; Roberto C. F. Costa (1990). Álgebra Linear e Aplicações 6 ed. São Paulo: Atual. ISBN 9788570562975

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