METRICA MATEMATICA

Em Matemática, métrica é um conceito que generaliza a ideia geométrica de distância. Um conjunto em que há uma métrica definida recebe o nome de espaço métrico.

Índice

  [esconder] 

• 1Definição
  • 1.1Exemplos
• 2Bolas
• 3Métrica induzida por uma norma
• 4Topologia induzida por uma métrica
• 5Limitação
• 6Convergência
• 7Completeza
• 8Métricas equivalentes

Definição[editar | editar código-fonte]

Dado um conjunto ${\displaystyle \mathbb {S} }$, uma métrica em ${\displaystyle \mathbb {S} }$ é uma função

${\displaystyle d:\mathbb {S} \times \mathbb {S} \to \mathbb {R} }$

que possui as seguintes propriedades:

• É positivamente definida, ou seja, é tal que

${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$

para todos os ${\displaystyle x,y\in \mathbb {S} }$.

• É simétrica, ou seja, é tal que

${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)\,}$

para todos os elementos ${\displaystyle x,y}$ de ${\displaystyle \mathbb {S} }$.

• Obedece a desigualdade triangular; para todos os ${\displaystyle x,y,z}$ elementos de ${\displaystyle \mathbb {S} }$, ${\displaystyle d}$ satisfaz

${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z).}$

• É nula apenas para pontos coincidentes. Ou seja,

${\displaystyle d(x,y)=0\iff x=y.}$

No âmbito da relatividade, ao espaço-tempo está associada uma pseudométrica, já que para dois pontos diferentes o quadrado da "distância" (aqui entendida como o comprimento da geodésica entre dois pontos distintos) pode ser zero para pontos distintos e mesmo negativa.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

No conjunto dos números reais, a métrica usual é dada por:

• ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|\,}$

Uma forma de medir distâncias

No conjunto ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ várias métricas podem ser definidas, por exemplo:

• ${\displaystyle d(x,y)={\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}}}}$
• ${\displaystyle d(x,y)=max|x_{i}-y_{i}|\,}$

No conjunto das funções contínuas no intervalo ${\displaystyle [a,b]}$, ${\displaystyle C^{0}[a,b]}$:

• ${\displaystyle d(f,g)=\sup _{x\in [a,b]}|f(x)-g(x)|}$
• ${\displaystyle d(f,g)=\int _{a}^{b}|f(x)-g(x)|}$

Em um conjunto ${\displaystyle \mathbb {S} }$ qualquer, a métrica discreta:

• ${\displaystyle d(x,y)=\left\{{\begin{array}{ll}0,&x=y\\1,&x\neq y\end{array}}\right.}$

Bolas[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Bola (matemática)

As bolas abertas de raio ${\displaystyle r}$ e centro ${\displaystyle x}$ em um espaço métrico ${\displaystyle \mathbb {S} }$ são denotadas por:

${\displaystyle B(x,r)=\left\{y\in \mathbb {S} :d(x,y)<r\right\}.}$

Analogamente, as bolas fechadas de raio ${\displaystyle r}$ e centro ${\displaystyle x}$ em um espaço métrico ${\displaystyle \mathbb {S} }$ são denotadas por:

${\displaystyle {\bar {B}}(x,r)=\left\{y\in \mathbb {S} :d(x,y)\leq r\right\}.}$

Métrica induzida por uma norma[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Espaço normado

Seja ${\displaystyle \|.\|}$ uma norma em um espaço ${\displaystyle \mathbb {S} }$, então pode-se definir uma métrica neste espaço por:

${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|}$

Os axiomas da métrica serão automaticamente satisfeitos.

Topologia induzida por uma métrica[editar | editar código-fonte]

A todo espaço métrico está associado, de forma canônica, um espaço topológico. Este espaçõ pode ser definido de várias maneiras equivalentes.

Seja ${\displaystyle \tau _{d}\subset \wp (\mathbb {S} )}$ o conjunto

${\displaystyle \tau _{d}=\left\{A\subset \mathbb {S} \mid \forall x\in A,\,\exists r>0{\text{ tal que }}B(x,r)\subset A\right\}.}$

Em outras palavras, todo elemento A de tau_d é um subconjunto de S em que cada elemento ${\displaystyle x\in A\,}$ é também elemento de uma bola aberta B que é subconjunto de A: ${\displaystyle x\in B\subseteq A\subseteq S\,}$.

Verifica-se facilmente que ${\displaystyle \tau _{d}}$ é uma topologia sobre ${\displaystyle \mathbb {S} }$. Essa é a topologia induzida por ${\displaystyle d}$ sobre ${\displaystyle \mathbb {S} }$.

Note que o conjunto de todas as bolas abertas de ${\displaystyle \mathbb {S} }$ forma uma base para a topologia ${\displaystyle \tau _{d}}$.

Por exemplo, a métrica discreta induz a topologia discreta.

Limitação[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Conjunto limitado

Um conjunto é dito limitado se estiver contido em uma bola de raio finito.

Convergência[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Sequência convergente

Uma seqüência ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ é dita convergente para uma ponto ${\displaystyle x}$ se:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }d(x_{n},x)=0}$

Uma seqüência é dita de Cauchy se:

${\displaystyle \lim _{n,m\to \infty }d(x_{n},x_{m})=0}$

Completeza[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Espaço completo

Um espaço métrico é dito completo se toda seqüência de Cauchy é convergente.

Todo espaço métrico admite um completamento, veja espaço completo.

Métricas equivalentes[editar | editar código-fonte]

• Duas métricas, ${\displaystyle d_{1}}$ e ${\displaystyle d_{2}}$, sobre o mesmo espaço métrico são ditas equivalentes se induzirem a mesma topologia.
• Duas métricas, ${\displaystyle d_{1}}$ e ${\displaystyle d_{2}}$, sobre o mesmo espaço métrico são ditas uniformemente equivalentes se existirem duas constantes positivas, ${\displaystyle C_{1}}$ e ${\displaystyle C_{2}}$ tais que:

${\displaystyle C_{1}d_{1}(x,y)\leq d_{2}(x,y)\leq C_{2}d_{1}(x,y)}$

Obs.: Métricas uniformemente equivalentes são equivalentes.

Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.

•  Portal da matemática

Categoria: 

• Análise matemática