SEQUENCIA DE NUMEROS REAIS

Em análise matemática, uma sequência de números reais é uma função real cujo domínio é o conjunto dos números naturais. O estudo destas sequências traz resultados importantes na análise matemática de funções reais. Livros de análise matemática de função reais de uma variável real, usualmente, tratam sobre sequências. ^[1][2] Ao decorrer deste artigo iremos nos referir a estas sequências somente usando o termo sequência.

Índice

  [esconder] 

• 1Definição
  • 1.1Exemplos
  • 1.2Exemplo
• 2Classificação
  • 2.1Exemplos
  • 2.2Exemplos
• 3Limite de uma sequência
  • 3.1Definição de limite de uma sequência
    • 3.1.1Exemplo
  • 3.2Propriedades do limite
    • 3.2.1Unicidade
      • 3.2.1.1Exemplo
    • 3.2.2Propriedades Aritméticas
• 4Ver também
• 5Referências

Definição[editar | editar código-fonte]

Uma sequência de números reais é uma função real ${\displaystyle x:\mathbb {N} \to \mathbb {R} }$ definida no conjunto dos números naturais ${\displaystyle \mathbb {N} }$. Notações usuais são: ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ , ${\displaystyle (x_{n})_{n}}$, ${\displaystyle (x_{n})}$ ou, ainda, por extenso ${\displaystyle (x_{1},~x_{2},~x_{3},~\ldots ,~x_{n},~\ldots )}$. Ao escrever ${\displaystyle x_{n}}$ estamos denotando apenas o termo da sequência de índice ${\displaystyle n}$, chamado de ${\displaystyle n}$-ésimo termo da sequência ${\displaystyle (x_{n})_{n}}$.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

a) ${\displaystyle \left({\frac {1}{n}}\right)_{n}=\left(1,~{\frac {1}{2}},~{\frac {1}{3}},~\ldots ,~{\frac {1}{n}},~\ldots \right)}$

b) ${\displaystyle (2n-4)_{n}=(-2,~0,~2,~\ldots ,~2n-4,~\ldots )}$

c) ${\displaystyle (1,~-1,~1,~\ldots ,~(-1)^{n},~\ldots )}$

Diretamente relacionado a sequência temos o conceito de subsequência. Uma subsequência de ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ é sua restrição a um subconjunto infinito ${\displaystyle \mathbb {N} '\subset \mathbb {N} }$. Denotamos tal subsequência por ${\displaystyle (x_{n_{m}})_{n_{m}\in \mathbb {N} '}}$ ou, simplesmente, ${\displaystyle (x_{n_{m}})}$ no caso do conjunto ${\displaystyle \mathbb {N} '}$ estar subentendido. Note que toda subsequência ${\displaystyle (x_{n_{m}})_{n_{m}\in \mathbb {N} '}}$ de uma sequência ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ é uma sequência, já que está definida para ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$, isto é, para cada ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$, temos um ${\displaystyle n_{m}\in \mathbb {N} '}$.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

${\displaystyle \left({\frac {1}{m}}\right)_{m\in \mathbb {P} }=\left({\frac {1}{2}},~{\frac {1}{4}},~{\frac {1}{6}},~\ldots ,~{\frac {1}{2n}},~\ldots \right)}$ onde, aqui, ${\displaystyle \mathbb {P} }$ denota o conjunto dos números naturais pares, é uma subsequência da sequência ${\displaystyle \left({\frac {1}{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$.

Classificação[editar | editar código-fonte]

Dizemos que uma sequência de números reais ${\displaystyle (x_{n})}$ é limitada quando existe um intervalo ${\displaystyle [a,b]\in \mathbb {R} }$ tal que ${\displaystyle x_{n}\in [a,b]}$ para todo ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Caso contrário, ela é dita ser ilimitada. Além disso, dizemos que uma sequência ${\displaystyle (x_{n})}$ é limitada superiormente quando existe um número ${\displaystyle b\in \mathbb {R} }$ tal que ${\displaystyle x_{n}\leq b}$ para todo ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Analogamente, dizemos que uma sequência ${\displaystyle (x_{n})}$ é limitada inferiormente quando existe ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ tal que ${\displaystyle x_{n}\geq a~\forall n\in \mathbb {N} }$.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

(a) ${\displaystyle \left({\frac {1}{n}}\right)_{n}}$ é uma sequência limitada, pois ${\displaystyle {\frac {1}{n}}\in [0,1]~\forall n\in \mathbb {N} }$.

(b) ${\displaystyle (2n-4)_{n}}$ é uma sequência ilimitada, mas limitada inferiormente. Com efeito, ${\displaystyle 2n-4\in [-2,+\infty )~\forall n\in \mathbb {N} }$.

Sequências de números reais também são classificadas conforme o comportamento de seus termos. Uma sequência ${\displaystyle (x_{n})_{n}}$ é dita ser (monotonamente) não decrescente quando ${\displaystyle x_{n}\leq x_{n+1}~\forall n\in \mathbb {N} }$. Ela é dita ser (monotonamente) crescente quando ${\displaystyle x_{n}<x_{n+1}~\forall n\in \mathbb {N} }$. Analogamente, dizemos que ${\displaystyle (x_{n})_{n}}$ é uma sequência (monotonamente) não crescente quando ${\displaystyle x_{n}\geq x_{n+1}~\forall n\in \mathbb {N} }$. E, dizemos que ela é (monotonamente) decrescente quando ${\displaystyle x_{n}>x_{n+1}~\forall n\in \mathbb {N} }$. Em qualquer um destes casos, dizemos que a sequência é monótona.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

(a) ${\displaystyle \left({\frac {1}{n}}\right)_{n}}$é uma sequência limitada e decrescente.

(b) ${\displaystyle (2n-4)_{n}}$ é uma sequência ilimitada e crescente.

(c) ${\displaystyle (1,~-1,~1,~\ldots ,~(-1)^{n},~\ldots )}$ é uma sequência limitada não monótona.

Uma sequência também é classificada conforme a convergência de seus termos. Definimos a convergência de uma sequência ao tratar da definição de limite de uma sequência.

Limite de uma sequência[editar | editar código-fonte]

A noção de limite se refere à tendencia dos termos de um sequência dada quando tomamos índices grandes. Por exemplo, ao tomarmos índices grandes, vemos que os termos da sequência ${\displaystyle (1/n)_{n}}$ são números muito próximos de zero. Isto nos dá a noção de que esta sequência de números tende para o número zero quando fazemos ${\displaystyle n}$ tender para o infinito. Livros de Cálculo^[3][4] costumam explorar a noção de limite de sequências de forma intuitiva. Aqui, apresentamos um abordagem mais formal, típica de textos de análise matemática.

Definição de limite de uma sequência[editar | editar código-fonte]

Diz-se que ${\displaystyle L\in \mathbb {R} }$ é o limite da sequência de números reais ${\displaystyle (x_{n})_{n}}$ quando para todo número real ${\displaystyle \epsilon >0}$, existe ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ tal que se para todo índice ${\displaystyle n>N}$, tem-se ${\displaystyle L-\epsilon <x_{n}<L+\epsilon }$. Quando existe um tal ${\displaystyle L\in \mathbb {R} }$ para uma dada sequência ${\displaystyle (x_{n})_{n}}$, dizemos que esta é uma sequência convergente. Neste caso, escrevemos:

${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }x_{n}}$

que lê-se L é o limite da sequência ${\displaystyle x_{n}}$ quando ${\displaystyle n}$ tende ao infinito. Escreve-se, também, ${\displaystyle x_{n}\to L}$ quando ${\displaystyle n\to \infty }$ que lê-se ${\displaystyle x_{n}}$ tende a ${\displaystyle L}$ quando ${\displaystyle n}$ tende ao infinito. Ainda, é comum dizer simplesmente que o limite da sequência ${\displaystyle x_{n}}$ é ${\displaystyle L}$, tomando-se por entendido que ${\displaystyle n\to \infty }$. Neste contexto, escreve-se ${\displaystyle \lim x_{n}=L.}$

Caso não exista um tal ${\displaystyle L}$ com a propriedade mencionada, dizemos que a sequência é divergente. Isto é, ${\displaystyle (x_{n})_{n}}$ é uma sequência divergente quando, para todo ${\displaystyle L\in \mathbb {R} }$, existe um número real ${\displaystyle \epsilon >0}$ tal que para todo ${\displaystyle N\in \mathbb {R} }$ existe um índice ${\displaystyle n>N}$ tal que ${\displaystyle x_{n}\leq L-\epsilon }$ ou ${\displaystyle x_{n}\geq L+\epsilon }$.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

(a) ${\displaystyle \left({\frac {1}{n}}\right)_{n}}$ é uma sequência convergente. Com efeito, tomando ${\displaystyle L=0}$, vemos que para cada ${\displaystyle \epsilon >0}$ podemos escolher um ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ tal que ${\displaystyle \epsilon >{\frac {1}{N}}}$. Logo, para todo índice ${\displaystyle n>N}$ tem-se ${\displaystyle -\epsilon <{\frac {1}{n}}<\epsilon }$.

(b) ${\displaystyle (1,~-1,~1,~\ldots ,~(-1)^{n},~\ldots )}$ é uma sequência divergente. Com efeito, seja ${\displaystyle L\neq 1}$ e ${\displaystyle 0<\epsilon <|L-1|}$. Daí, temos que para todo ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ temos, por exemplo, que todo índice ímpar ${\displaystyle n>N}$ implica ${\displaystyle x_{n}\leq L-\epsilon }$ ou ${\displaystyle x_{n}\geq L+\epsilon }$. O raciocínio é análogo caso tentarmos ${\displaystyle L\neq -1}$. Se, tomarmos ${\displaystyle L=1}$ e ${\displaystyle \epsilon =1}$, então para todo ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ temos que os índices pares ${\displaystyle n>N}$ são tais que ${\displaystyle x_{n}\leq L-\epsilon }$. Análogo para ${\displaystyle L=-1}$. Assim, temos demonstrado que a sequência dada diverge.

Propriedades do limite[editar | editar código-fonte]

Limites de sequências têm uma série de propriedades. Aqui, enunciamos algumas das mais importantes (veja, por exemplo, os livros de análise matemática indicados nas referências deste artigo).

Unicidade[editar | editar código-fonte]

Se uma sequência tem um limite, ele é único.

[Expandir]Demonstração.

Observamos que se ${\displaystyle L}$ é o limite de uma sequência dada ${\displaystyle (x_{n})}$, então toda subsequência de ${\displaystyle (x_{n})}$ converge para ${\displaystyle L}$.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

${\displaystyle \left({\frac {1}{n}}\right)}$ converge para zero, assim como a subsequência ${\displaystyle \left({\frac {1}{2}},~{\frac {1}{4}},~{\frac {1}{6}},~\ldots ,~{\frac {1}{2m}},~\ldots \right)}$ formada apenas pelos índices pares da sequência ${\displaystyle \left({\frac {1}{n}}\right)}$.

Propriedades Aritméticas[editar | editar código-fonte]

Se ${\displaystyle \lim x_{n}=0}$ e ${\displaystyle (y_{n})_{n}}$ é uma sequência limitada, então ${\displaystyle \lim x_{n}\cdot y_{n}=0}$.

[Expandir]Demonstração.

Sejam ${\displaystyle (x_{n})_{n}}$ e ${\displaystyle (y_{n})_{n}}$ sequências de números reais convergentes, então:

1. ${\displaystyle \lim(x_{n}+y_{n})=\lim x_{n}+\lim y_{n}}$
2. ${\displaystyle \lim(x_{n}\cdot y_{n})=\lim x_{n}\cdot \lim y_{n}}$
3. ${\displaystyle \lim \left({\frac {x_{n}}{y_{n}}}\right)={\frac {\lim x_{n}}{\lim y_{n}}}}$ se ${\displaystyle \lim y_{n}\neq 0}$

[Expandir]Demonstração.

Ver também[editar | editar código-fonte]

• Série
• Sequências

Referências

1. Ir para cima↑ Lima, Elon Lages (2013). Curso de Análise - Volume 1 14 ed. IMPA. ISBN 9788524401183
2. Ir para cima↑ Ávila, Geraldo (1995). Introdução à Análise Matemática. Edgard Blücher. ISBN 8521201680
3. Ir para cima↑ Stewart, James (2013). Cálculo 5. ed. Cengage Learning. ISBN 9788522112593
4. Ir para cima↑ Anton, Howard (2007). Cálculo - um novo horizonte 8 ed. Bookman. ISBN 9788560031801

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