VARIAÇAO COM O INVERSO DO QUADRO

Diz-se que duas grandezas estão relacionadas por uma variação com o inverso do quadrado quando dobrando-se uma delas a outra tem o seu valor diminuído a um quatro (1/2²) de seu valor inicial; triplicando-se o valor da primeira, o valor da segunda fica reduzido a um nono (1/3² vezes), e assim por diante. De forma geral, multiplicando-se uma das grandezas por um certo fator real r, a outra terá seu valor dividido pelo fator r², ou seja, pelo quadrado de r.

Matematicamente, se Y varia com o inverso do quadrado de X, tem-se deforma geral que:

${\displaystyle Y={\frac {C}{x^{2}}}}$

onde C representa uma constante qualquer.

Também usa-se a expressão: "Y é diretamente proporcional ao inverso do quadrado de X".

${\displaystyle Y\alpha {\frac {1}{x^{2}}}}$

Tal expressão justifica-se pois, embora o gráfico de Y x X seja representado por uma curva crescente no segundo quadrante e decrescente no primeiro quadrante, este pode ser linearizado mediante a substituição da variável independente - inicialmente X - por uma terceira grandeza Z definida como "o inverso do quadrado de X": ${\displaystyle Z=1/x^{2}}$. Nestes termos Y passa a ser função de Z e não de X, e vê-se que o gráfico Y x Z representa, com X no domínio dos reais não nulos, o que implica Z no conjunto dos reais não nulos positivos, uma semi-reta que alinha-se com a origem. Decorre que neste domínio Y é diretamente proporcional a Z.

${\displaystyle Y\alpha Z}$

Traduzindo-se, verifica-se agora que dobrando-se o valor de Z ^[1] , o valor de Y também dobra. Triplicando-se o valor de Z, o valor de Y triplica; quadruplicando-se o valor de Z ^[2], Y fica multiplicado por 4, e assim por diante.

Se Y é diretamente proporcional a Z, tem-se que Y é diretamente proporcional ao "inverso do quadrado de X".

${\displaystyle Y\alpha Z}$ => ${\displaystyle Y\alpha (Z)}$ => ${\displaystyle Y\alpha ({\frac {1}{x^{2}}})}$ => ${\displaystyle Y\alpha {\frac {1}{x^{2}}}}$

onde o símbolo ${\displaystyle \alpha }$ significa: "é diretamente proporcional a".

O sinal de diretamente porporcional pode sempre ser trocado por um sinal de igual e uma constante adequada, o que nos remete à expressão geral antes citada:

${\displaystyle Y={\frac {C}{x^{2}}}}$

Em aplicações práticas no âmbito da eletricidade e magnetismo, a citar-se especificamente as leis de Coulomb e Biot-Sarvart, não apenas os valores de Z como também os valores de X encontrar-se-ão restritos ao domínio dos reais não nulos positivos. Tal fato decorre de que a grandeza que "X" representa nestes contextos a separação espacial entre dois entes ou pontos específicos, ou seja, a separação espacial que figura na "variação com o inverso do quadrado da distância". Tal grandeza, às vezes representada por "d" ou "r" no contexto, é por definição positiva, e não há sentido em atribuir-lhe valores negativos.

Ver também[editar | editar código-fonte]

• Proporcionalidade
• Variação com o inverso
• Proporção direta
• Variação com o quadrado
• Variação com o cubo

Referências

1. Ir para cima↑ o que implica dividir X por ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
2. Ir para cima↑ o que significa dividir X por 2

Categorias: 

• Matemática
• Funções matemáticas