ANEL MATEMATICA

Em matemática, um anel é uma estrutura algébrica que consiste num conjunto, juntamente com duas operações binárias (normalmente chamadas de adição e multiplicação), onde cada operação combina dois elementos para formar um terceiro elemento. Para se qualificar como um anel, o conjunto juntamente com as suas duas operações deve satisfazer determinadas condições; especificamente, o conjunto deve ser um grupo abeliano sob adição e um monoide sob multiplicação tal que a multiplicação distribui sobre a adição.

Embora essas operações sejam familiares em muitas estruturas matemáticas, tais como sistemas de números ou números inteiros, elas também são muito gerais, tomando uma ampla variedade de objetos matemáticos. A onipresença dos anéis os torna um princípio organizador central da matemática contemporânea. O ramo da matemática que estuda os anéis é conhecido como teoria dos anéis.

Índice

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• 1Definição
• 2Exemplos
• 3Casos particulares
• 4Divisores de zero
• 5Ideais
• 6Referências bibliográficas
• 7Ver também

Definição[editar | editar código-fonte]

Um anel é uma estrutura algébrica que consiste num conjunto ${\displaystyle A}$ com um elemento ${\displaystyle 0}$ e duas operações binárias ${\displaystyle +}$ e ${\displaystyle \cdot }$ que satisfazem as seguintes condições:

1. Associatividade de ${\displaystyle +:}$ ${\displaystyle (\forall a,b,c\in A):(a+b)+c=a+(b+c)}$
2. Existência de elemento neutro (0) de ${\displaystyle +:}$ ${\displaystyle (\forall a\in A):a+0=0+a=a}$
3. Existência de simétrico de ${\displaystyle +:}$ ${\displaystyle (\forall a\in A)(\exists b\in A):a+b=0}$
4. Comutatividade de ${\displaystyle +:}$ ${\displaystyle (\forall a,b\in A):a+b=b+a}$
5. Associatividade de ${\displaystyle \cdot :}$ ${\displaystyle (\forall a,b,c\in A):(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$
6. Distributividade de ${\displaystyle \cdot }$ em relação a ${\displaystyle +}$ (à esquerda e à direita): ${\displaystyle (\forall a,b,c\in A):a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c\,\wedge \,(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c}$

Alguns autores incluem ainda o axioma:

7. Existência de elemento neutro (1) de ${\displaystyle \cdot :}$ ${\displaystyle \exists 1\in A,1\neq 0\land (\forall a\in A,1.a=a.1=a)}$

Em particular, temos que ${\displaystyle (A,+)}$ é um grupo abeliano. Como em qualquer grupo, o inverso para a adição de um elemento ${\displaystyle a\in A,}$ cuja existência é garantida pela terceira condição, é único e costuma ser representado por ${\displaystyle -a.}$ Além disso, se ${\displaystyle a,b\in A,}$ costuma-se representar ${\displaystyle a+(-b)}$ por ${\displaystyle a-b.}$

Exemplos[editar | editar código-fonte]

• O conjunto ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ dos números inteiros forma um anel relativamente à adição e à multiplicação usuais. O mesmo acontece com o conjunto ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ dos números racionais, o conjunto ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dos números reais e o conjunto ${\displaystyle \mathbb {C} }$ dos números complexos.
• O conjunto dos números complexos que são raízes de polinómios da forma ${\displaystyle x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+}$ ··· ${\displaystyle +a_{1}x+a_{0},}$ com coeficientes inteiros, forma um anel relativamente à adição e à multiplicação usuais, o anel dos inteiros algébricos.
• O menor anel é formado somente por ${\displaystyle 0.}$
• Seja ${\displaystyle (G,+)}$ um grupo abeliano e seja End(${\displaystyle G}$) o conjunto dos endomorfismos de ${\displaystyle G.}$ Se, dados ${\displaystyle f,g}$ ∈ End(${\displaystyle G}$), se definir a adição de ${\displaystyle f+g}$ ∈ End(${\displaystyle G}$) de ${\displaystyle f}$ com ${\displaystyle g}$ por ${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x),}$ então End(${\displaystyle G}$) é um anel relativamente às operações adição e composição.

Casos particulares[editar | editar código-fonte]

• Se a multiplicação é comutativa, temos um anel comutativo.
• Se a multiplicação tem elemento neutro, temos um anel com identidade ou anel com unidade.
• Um anel de divisão é um anel ${\displaystyle (A,+,.)}$ em que ${\displaystyle (A}$ \ {${\displaystyle 0}$}${\displaystyle ,.)}$ é um grupo.
• Se a multiplicação tem elemento neutro e é idempotente, temos um anel booliano. Anéis boolianos e álgebras boolianas tem uma correspondência trivial.

Divisores de zero[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Divisor de zero

Sejam ${\displaystyle A}$ um anel e ${\displaystyle a}$ um elemento de ${\displaystyle A}$ diferente de ${\displaystyle 0.}$ Diz-se que ${\displaystyle a}$ é um divisor de zero se existir algum ${\displaystyle b}$ ∈ ${\displaystyle A}$ \ ${\displaystyle \{0\}}$ tal que ${\displaystyle a.b=0}$ ou que ${\displaystyle b.a=0.}$

Exemplos:

• O anel Z dos números inteiros não tem divisores de zero.
• Seja ${\displaystyle n}$ um número natural maior do que ${\displaystyle 1}$ e seja Z${\displaystyle _{n}=\{0,,\ldots ,n-1\}}$ com a adição e o produto assim definidos: se ${\displaystyle a,b}$ ∈ Z${\displaystyle _{n},}$ então ${\displaystyle a+b}$ é o resto da divisão por ${\displaystyle n}$ da soma dos números inteiros ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ e ${\displaystyle a.b}$ é o resto da divisão por ${\displaystyle n}$ do produto dos números inteiros ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b.}$ Então Z${\displaystyle _{n}}$ tem divisores de zero quando e só quando ${\displaystyle n}$ for composto. Neste caso, se a e b forem números naturais tais que ${\displaystyle a.b=n}$ então, em Z${\displaystyle _{n},}$ ${\displaystyle a.b=0.}$

Ideais[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Ideal (teoria dos anéis)

Sejam ${\displaystyle A}$ um anel e ${\displaystyle I}$ um subconjunto não vazio de ${\displaystyle A.}$ Diz-se que ${\displaystyle I}$ é um ideal à esquerda de ${\displaystyle A}$ se

1. ${\displaystyle I\neq A}$
2. ${\displaystyle (\forall i,j\in I):i+j\in I}$
3. ${\displaystyle (\forall a\in A)(\forall i\in I):a.i\in I}$

Diz-se que ${\displaystyle I}$ é um ideal à direita de ${\displaystyle A}$ se satisfizer as duas primeiras das condições anteriores, juntamente com

${\displaystyle (\forall a\in A)(\forall i\in I):i.a\in I}$

Diz-se que ${\displaystyle I}$ é um ideal bilateral se for simultaneamente um ideal à esquerda e um ideal à direita.

Caso ${\displaystyle A}$ seja um anel comutativo, não há diferença entre os conceitos de ideal à esquerda e ideal à direita. Fala-se então somente de ideais.

Exemplos:

• Os inteiros pares formam um ideal do anel dos números inteiros. Mais geralmente, se ${\displaystyle m}$ ∈ Z\{±${\displaystyle 1}$}, o conjunto dos inteiros que são múltiplos de ${\displaystyle m}$ é um ideal do anel dos números inteiros e, de facto, todos os ideais do anel dos números inteiros. são daquela forma.
• Seja ${\displaystyle A}$ o conjunto das funções ${\displaystyle f}$ de R² em R² da forma

${\displaystyle f(x,y)=(a.x+b.y,c.x+d.y),}$

onde ${\displaystyle a,b,c,d}$ ∈ R. Então, se ${\displaystyle 0}$ for a função nula, se ${\displaystyle +}$ for a adição de funções e se ${\displaystyle .}$ for a composição, então ${\displaystyle A}$ é um anel (não comutativo). Se

${\displaystyle I=\{f\in A\,|\,f(1,0)=(0,0)\},}$

então ${\displaystyle I}$ é um ideal à esquerda, mas não é um ideal à direita.

Se ${\displaystyle A}$ for um anel e ${\displaystyle I}$ for um ideal (à esquerda ou à direita), considere-se em ${\displaystyle A}$ a relação de equivalência ∼ assim definida:

${\displaystyle a}$ ∼ ${\displaystyle b}$ se e só se ${\displaystyle a-b}$ ∈ ${\displaystyle I.}$

Se ${\displaystyle a}$ ∈ ${\displaystyle A,}$ seja ${\displaystyle a+I}$ a sua classe de equivalência; seja ${\displaystyle A/I}$ o conjunto de todas as classes de equivalência. Então, se se definir

${\displaystyle (a+I)+(b+I)=(a+b)+I,}$

${\displaystyle (A/I,+)}$ é novamente um grupo abeliano. Além disso, se ${\displaystyle I}$ for um ideal à esquerda e se ${\displaystyle a}$ ∈ ${\displaystyle A,}$ então faz sentido definir a função

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}A/I&\longrightarrow &A/I\\b+I&\mapsto &a.b+I\end{array}}}$

Analogamente, se ${\displaystyle I}$ for um ideal à direita e se ${\displaystyle a}$ ∈ ${\displaystyle A,}$ então faz sentido definir a função

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}A/I&\longrightarrow &A/I\\b+I&\mapsto &b.a+I\end{array}}}$

Caso ${\displaystyle I}$ seja um ideal bilateral, ${\displaystyle A/I}$ volta a ser um anel se se definir

${\displaystyle (a+I).(b+I)=a.b+I}$

Referências bibliográficas[editar | editar código-fonte]

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• Lang, Serge (2005), Undergraduate Algebra, ISBN 978-0-387-22025-3 3rd ed. , Berlin, New York: Springer-Verlag.
• Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory, ISBN 978-0-521-36764-6, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 2nd ed. , Cambridge University Press
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• Zwillinger, D. (Ed.). "Rings." §2.6.3 in CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 141–143, 1995

Ver também[editar | editar código-fonte]

• Teoria dos anéis
• Anel topológico, que combina a estrutura do anel com um espaço topológico, de forma que várias operações sejam contínuas.
• Domínio euclidiano, um tipo de anel onde o algoritmo de Euclides pode ser utilizado.

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