ANGICO E SUAS LENDAS: GEODESICA

Num plano, a geodésica é a menor distância que une dois pontos tal que, para pequenas variações da forma da curva, o seu comprimento é estacionário. A representação da geodésica em um plano representa a projeção de um círculo máximo sobre uma esfera. Assim, tanto na superfície de uma esfera ou deformada num plano, a reta é uma curva, já que a menor distância possível entre dois pontos somente poderá ser curvada, pois uma reta necessariamente precisaria, permanecer sempre num plano, para ser a menor distância entre pontos.

Do ponto de vista prático, na maioria dos casos, a geodésica é a curva de menor comprimento que une dois pontos.

Em uma "geometria plana" (espaço euclidiano), essa curva é um segmento de reta, mas em "geometrias curvas" (geometria riemanniana), muito utilizadas por exemplo na Teoria da Relatividade Geral, a curva de menor distância entre dois pontos pode não ser uma reta.

Para entender isso, peguemos como exemplo a curvatura do globo terrestre e seus continentes. Se traçarmos uma linha ligando duas capitais de continentes distintos, perceberemos que a linha não é reta, mas sim um arco do círculo máximo, entretanto, se a distancia entre as duas cidades for pequena a linha que cobre o segmento do arco de círculo máximo será realmente uma reta .

Todo mundo aprende na escola que a menor distância entre dois pontos é uma reta. Mas pouca gente se recorda – e alguns professores se esquecem de avisar – que isso é válido apenas em um espaço plano. Em um espaço tridimensional, a coisa muda de figura.

Imaginemos, por exemplo, um triângulo equilátero, aquele em que todos os lados são iguais e todos os ângulos internos somam 180 graus.

Marcando dois pontos dentro do triângulo, a menor distância entre eles sempre será uma reta. Além disso, não importa o tamanho dos lados: sempre, em qualquer circunstância, a soma dos ângulos internos do triângulo será 180 graus.

Pois bem. Vamos mudar, agora, o paradigma. Imaginemos um espaço tridimensional, tipo aquele em que nós vivemos todos os dias. Além das duas dimensões existentes no plano bidimensional (altura e comprimento), há uma outra: a profundidade.

Nesse tipo de plano, a menor distância entre dois pontos é uma curva, mais especificamente um arco de círculo máximo. E – o que parece mais bizarro – a soma dos ângulos internos de um triângulo não é 180, mas 270 graus.

Observe a figura:

Repare que o triângulo formado entre os pontos A-B-C possui três ângulos retos (90 graus). Portanto, 270 graus.

Esta representação pode ser confirmada na nossa realidade se pensarmos no planeta Terra.

Suponha que a base de nosso triângulo é formada pelo arco resultante da metade da linha do Equador. Com qualquer meridiano, o ângulo formado com o Equador será de 90 graus. Seguindo-se um meridiano qualquer até o pólo norte e, de lá, seguindo-se outro meridiano até o Equador, teremos mais dois ângulos retos.

Esse efeito tem implicações interessantes, por exemplo, quando você voa num avião a trajetória que ele fará para ir de um destino a outro não seguirá uma “linha reta”, como muita gente imagina. Ele seguirá a “curva” da Terra, fazendo pequenos ajustes no sentido da viagem de modo a percorrer o menor trecho possível. Se ele fosse simplesmente “reto”, acabaria por percorrer uma trajetória maior do que a se seguisse a curvatura terrena.

Uma imagem pode, por exemplo, demonstrar como uma viagem entre Nova Iorque e Lisboa é feita, seguindo-se a menor distância entre dois pontos em um espaço tridimensional. ^[1]

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