OBJETO INICIAL

Objeto inicial, no contexto de Teoria das categorias, é um objeto especial em uma categoria.

Seja C uma categoria. Um objeto ${\displaystyle 0}$ é inicial e somente se para qualquer objeto ${\displaystyle b}$ existe um único ${\displaystyle f:0\rightarrow b}$. O objeto inicial é uma noção universal, ou seja, definida pela existência e unicidade de morfismos.

Um exemplo de objeto inicial em Set é o conjunto vazio, ${\displaystyle \emptyset }$, pois existe uma única função total que tem como origem ${\displaystyle \emptyset }$ e tem como destino qualquer outro conjunto, e esta é a função vazia (ou seja, aquela em que o gráfico da função é vazio).

O objeto inicial é único, a não ser por isomorfismos.

Índice

  [esconder] 

• 1Objeto terminal
• 2Unicidade
• 3Ver também
• 4Ligações externas
• 5Referências

Objeto terminal[editar | editar código-fonte]

É um objeto com a seguinte propriedade especial: para todo objeto ${\displaystyle b}$ da categoria existe um único morfismo ${\displaystyle f:b\rightarrow t}$. A noção dual correspondente é a de objeto inicial.

Em Set qualquer conjunto unitário (conjunto com um único elemento) é terminal. Isto ocorre pois, dado qualquer outro conjunto, só existe uma função total com origem neste conjunto e destino no conjunto unitário, que é a função constante (aquela em que os valores da função para todo o domínio são iguais). Esta propriedade vale inclusive se o domínio da função for o conjunto vazio, já que o próprio conjunto vazio é uma função com domínio igual ao conjunto vazio.

Unicidade[editar | editar código-fonte]

O objeto terminal, se existe, é único no sentido que importa para a teoria: se x e y são dois objetos terminais, então eles são isomórficos, e o isomorfismo é único. A prova é imediata: por ser x terminal, existe um único morfismo ${\displaystyle 1_{x}:x\to x\,}$ e um único morfismo ${\displaystyle f:y\to x\,}$. Por ser y terminal, existe um único morfismo ${\displaystyle 1_{y}:y\to y\,}$ e um único morfismo ${\displaystyle g:x\to y\,}$. Compondo f e g, chegam-se à prova de que f e g são isomorfismos, e um é o inverso do outro.^[1]

Ver também[editar | editar código-fonte]

• Matemática
• Ciência da computação

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

• Categories, Types and Structures por Andrea Asperti e Giuseppe Longo
• Lâminas para um curso curto de Teoria das Categorias por Carlos Campani

Referências[editar | editar código-fonte]

• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician (2nd ed.). Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. ISBN 0-387-98403-8.
• Barr, Michael & Wells, Charles, Category Theory for Computing Science, Prentice Hall, London, UK, 1990.
• Asperti, Longo, "Categories, Types, and Structures", The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, London, England.