domingo, 13 de setembro de 2015

PARALELEPIDO

Paralelepípedo ou bloco retangular é a designação dada a um prisma cujas faces são paralelogramos.[1] [2] Um paralelepípedo tem seis faces, sendo que duas são idênticas e paralelas entre si.[3] Os paralelepípedos podem ser retos ou oblíquos, consoante as suas faces laterais sejam perpendiculares ou não à base.[4]

Definição[editar | editar código-fonte]

Em geometria, um 'paralelepípedo' é uma forma tridimensional cujas 6 faces são paralelogramos. O paralelepípedo pode ser definido de três formas distintas:
  • É um prisma cuja base é um paralelogramo;
  • É um hexaedro do qual cada face é um paralelogramo;
  • É um hexaedro com três pares de faces paralelas.
Os paralelepípedos constituem uma subclasse dos prismatoides.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Cada um dos três pares de faces paralelas do paralelepípedo pode ser considerado como a base, já que o prisma tem três conjuntos de quatro arestas paralelas, as quais, em cada conjunto, têm o mesmo comprimento.
O paralelepípedo pode ser encarado como o resultado da transformação linear de um cubo.

Volume[editar | editar código-fonte]

O volume de um paralelepípedo é o produto da área da sua base pela altura. Para este efeito a base pode ser qualquer das faces, sendo a altura medida perpendicularmente ao plano que contém a base. Por outro lado, se os vetores a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) e c = (c1, c2, c3) representarem as três arestas que se encontrem num vértice, então o volume do paralelepípedo é igual ao valor absoluto do produto triploescalar a · (b × c), ou, o que é equivalente, ao valor absoluto do determinante:
\left| \det \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix} \right|.

Casos especiais[editar | editar código-fonte]

Para paralelepípedos com um plano de simetria existem dois casos:
  • Têm quatro faces retangulares;
  • Têm duas faces rômbicas, e das restantes, cada duas faces adjacentes são iguais (os dois pares são imagens invertidas entre si). Veja monoclínico.
  • Um cuboide é um paralelepípedo onde todas as faces são retangulares.
  • Um romboedro é um paralelepípedo com faces rômbicas congruentes entre si.
  • Um cubo é um paralelepípedo com ambas as propriedades anteriores, isto é cujas faces são quadrados.

O paralelepípedo em espaços[editar | editar código-fonte]

A designação paralelepípedo é também usada para formas análogas em espaços geométricos com mais de três dimensões.
A designação paralelepípedo, sem qualquer qualificativo, refere-se em geral à forma num espaço tridimensional, o percebido por nós. Num espaço n-dimensional, é comum usar-se a designação paralelepípedo n-dimensional, ou simplesmente n-paralelepípedo. Em 1D o análogo ao paralelepípedo é um intervalo, em 2D é um paralelogramo.
As diagonais de um n-paralelepípedo intersectam-se num ponto e são bissectadas pelo mesmo ponto. Uma Inversão neste ponto mantém o n-paralelepípedo inalterado. Veja o conceito de pontos fixos em gruposisométricos nos espaços euclidianos.

Referências

  1. Ir para cima↑ Bayer, Arno; Luiza Batista, Maria. Matemática: Tópicos Básicos. Editora da ULBRA. pp. 45.
  2. Ir para cima↑ Desenvolvimento de charpas. Hemus. ISBN 8528903923
  3. Ir para cima↑ Villas, Alberto. Pequeno dicionário brasileiro da língua morta. Globo Livros, 2013. ISBN 8525051721
  4. Ir para cima↑ de Freitas, Valdemar. Anatomia: Conceitos e Fundamentos. Artmed. pp. 41. ISBN 8536318597
O paralelepípedo é considerado um sólido geométrico, pois é formado por três dimensões. Em razão dessa característica, possui volume, que é a quantidade de espaço que o corpo ocupa ou a capacidade que ele possui de armazenar substâncias. O volume de um paralelepípedo é calculado através da multiplicação entre a área da base e a altura, ou para ser mais prático: comprimento x largura x altura, considerando sempre que as unidades de comprimento das dimensões sejam as mesmas. Vários objetos possuem o formato de um paralelepípedo, por exemplo, uma caixa, uma piscina, um aquário entre outros.
Nos cálculos envolvendo volume precisamos conhecer as unidades usuais de volume e sua correspondência com as medidas de capacidade. Observe as principais medidas:

1 m³ (metro cúbico) = 1000 L (litros)

1 dm³ (decímetro cúbico) = 1 L

1 cm³ (centímetro cúbico) = 1 mL (mililitro) 


Exemplo 1 

Um aquário possui o formato de um paralelepípedo com as seguintes dimensões:




Determine quantos litros de água são necessários para encher o aquário.

V = comprimento x largura x altura
V = 50 cm x 20 cm x 15 cm
V = 15000 cm³ (centímetros cúbicos)

Como foi informado que 1 cm³ corresponde a 1 ml, temos que 15000 cm³ é igual a 15000 ml ou 15 litros.


Exemplo 2

Uma prova internacional de natação é disputada em uma piscina olímpica com as seguintes dimensões: 50 metros de comprimento, 25 metros de largura e 3 metros de profundidade. Determine o volume e quantos litros de água são necessários para encher essa piscina.



V = comprimento x largura x profundidade
V = 50 metros x 25 metros x 3 metros
V = 50 x 25 x 3
V = 3750 m³ (metros cúbicos)

Temos que 1 m³ corresponde a 1000 litros, portanto 3750 * 1000 = 3 750 000 litros (três milhões setecentos e cinquenta mil litros).


Exemplo 3 

O degrau de uma escada lembra a forma de um paralelepípedo com as seguintes dimensões: 1 m de comprimento, 0,5 m de largura e 0,4 m de altura. Determine o volume total de concreto gasto na construção dessa escada sabendo que ela é constituída de 20 degraus.



Volume do degrau

V = 1 m x 0,5 m x 0,4 m
V = 0,20 m³

Volume total da escada
0,20 x 20
4 m³ ou 4 mil litros de concreto.
Postado por às

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