sábado, 16 de abril de 2016

ANEL ( MATEMÁTICA )

Em matemática, um anel é uma estrutura algébrica que consiste num conjunto, juntamente com duas operações binárias (normalmente chamado de adição e multiplicação), onde cada operação combina dois elementos para formar um terceiro elemento. Para se qualificar como um anel, o conjunto juntamente com as suas duas operações devem satisfazer determinadas condições - nomeadamente, o conjunto deve ser um grupo abeliano sob adição e um monoide sob multiplicação tal que a multiplicação distribui sobre a adição. Embora essas operações são familiares a partir de muitas estruturas matemáticas, tais como sistemas de números ou números inteiros, por exemplo, eles também são muito gerais, no sentido de que tomem uma ampla variedade de objetos matemáticos. A onipresença de anéis torna um princípio organizador central da matemática contemporânea. O ramo da matemática que estuda os anéis é conhecida como teoria dos anéis.

Definição[editar | editar código-fonte]

Um anel é uma estrutura algébrica que consiste num conjunto A com um elemento 0 e duas operações binárias + e \cdot que satisfazem as seguintes condições:
  1. Associatividade de +: (\forall a,b,c\in A):(a+b)+c=a+(b+c)
  2. Existência de elemento neutro (0) de +: (\forall a\in A):a+0=0+a=a
  3. Existência de simétrico de +: (\forall a \in A)(\exists b\in A):a+b=0
  4. Comutatividade de +: (\forall a,b\in A):a+b=b+a
  5. Associatividade de \cdot: (\forall a,b,c\in A):(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)
  6. Distributividade de \cdot em relação a + (à esquerda e à direita): (\forall a,b,c\in A):a\cdot(b+c)=a\cdot b + a\cdot c\,\wedge\,(a+b)\cdot c=a\cdot c + b\cdot c
Alguns autores incluem ainda o axioma:
7. Existência de elemento neutro (1) de \cdot: \exists 1 \in A, 1 \ne 0 \land (\forall a \in A, 1.a = a.1 = a)
Em particular, temos que (A,+) é um grupo abeliano. Como em qualquer grupo, o inverso para a adição de um elemento a \in A, cuja existência é garantida pela terceira condição, é único e costuma ser representado por -a. Além disso, se a, b \in A, costuma-se representar a+(-b) por a-b.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • O conjunto \mathbb{Z} dos números inteiros forma um anel relativamente à adição e à multiplicação usuais. O mesmo acontece com o conjunto \mathbb{Q} dos números racionais, o conjunto \mathbb{R} dos números reais e o conjunto \mathbb{C} dos números complexos.
  • O conjunto dos números complexos que são raízes de polinómios da forma x^n+a_{n-1}x^{n-1}+ ··· +a_1x+a_0, com coeficientes inteiros, forma um anel relativamente à adição e à multiplicação usuais, o anel dos inteiros algébricos.
  • O menor anel é formado somente por 0.
  • Seja (G,+) um grupo abeliano e seja End(G) o conjunto dos endomorfismos de G. Se, dados f,g ∈ End(G), se definir a adição de f+g ∈ End(G) de f com g por (f+g)(x)=f(x)+g(x), então End(G) é um anel relativamente às operações adição e composição.

Casos particulares[editar | editar código-fonte]

Divisores de zero[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Divisor de zero
Sejam A um anel e a um elemento de A diferente de 0. Diz-se que a é um divisor de zero se existir algum b ∈ A \ \{0\} tal que a.b=0 ou que b.a=0.
Exemplos:
  • O anel Z dos números inteiros não tem divisores de zero.
  • Seja n um número natural maior do que 1 e seja Z_n=\{0,,\ldots,n-1\} com a adição e o produto assim definidos: se a,b ∈ Z_n, então a+b é o resto da divisão por n da soma dos números inteiros a e b e a.b é o resto da divisão por n do produto dos números inteiros a e b. Então Z_n tem divisores de zero quando e só quando n for composto. Neste caso, se a e b forem números naturais tais que a.b=nentão, em Z_n, a.b=0.

Ideais[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Ideal (teoria dos anéis)
Sejam A um anel e I um subconjunto não vazio de A. Diz-se que I é um ideal à esquerda de A se
  1. I\neq A
  2. (\forall i,j\in I):i+j\in I
  3. (\forall a\in A)(\forall i\in I):a.i\in I
Diz-se que I é um ideal à direita de A se satisfizer as duas primeiras das condições anteriores, juntamente com
(\forall a\in A)(\forall i\in I):i.a\in I
Diz-se que I é um ideal bilateral se for simultaneamente um ideal à esquerda e um ideal à direita.
Caso A seja um anel comutativo, não há diferença entre os conceitos de ideal à esquerda e ideal à direita. Fala-se então somente de ideais.
Exemplos:
  • Os inteiros pares formam um ideal do anel dos números inteiros. Mais geralmente, se m ∈ Z\{±1}, o conjunto dos inteiros que são múltiplos de m é um ideal do anel dos números inteiros e, de facto, todos os ideais do anel dos números inteiros. são daquela forma.
  • Seja A o conjunto das funções f de R² em R² da forma
f(x,y)=(a.x+b.y,c.x+d.y),
onde a,b,c,d ∈ R. Então, se 0 for a função nula, se + for a adição de funções e se . for a composição, então A é um anel (não comutativo). Se
I=\{f\in A\,|\,f(1,0)=(0,0)\},
então I é um ideal à esquerda, mas não é um ideal à direita.
Se A for um anel e I for um ideal (à esquerda ou à direita), considere-se em A a relação de equivalência ∼ assim definida:
a ∼ b se e só se a-b ∈ I.
Se a ∈ A, seja a+I a sua classe de equivalência; seja A/I o conjunto de todas as classes de equivalência. Então, se se definir
(a+I)+(b+I)=(a+b)+I,
(A/I,+) é novamente um grupo abeliano. Além disso, se I for um ideal à esquerda e se a ∈ A, então faz sentido definir a função
\begin{array}{ccc}A/I&\longrightarrow&A/I\\b+I&\mapsto&a.b+I\end{array}
Analogamente, se I for um ideal à direita e se a ∈ A, então faz sentido definir a função
\begin{array}{ccc}A/I&\longrightarrow&A/I\\b+I&\mapsto&b.a+I\end{array}
Caso I seja um ideal bilateral, A/I volta a ser um anel se se definir
(a+I).(b+I)=a.b+I

Referências bibliográficas[editar | editar código-fonte]

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  • Beachy, J. A. Introductory Lectures on Rings and Modules. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1999.
  • T.S. Blyth and E.F. Robertson (1985). Groups, rings and fields: Algebra through practice, Book 3 Cambridge university Press [S.l.] ISBN 0-521-27288-2.
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  • Ellis, G. Rings and Fields. Oxford, England: Oxford University Press, 1993.
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  • Nagell, T. "Moduls, Rings, and Fields." §6 in Introduction to Number Theory. New York: Wiley, pp. 19–21, 1951
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Ver também[editar | editar código-fonte]

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