ANGICO E SUAS LENDAS: DIVISAO

Divisão é a operação matemática inversa da multiplicação. O ato de dividir por algum elemento de um conjunto só faz sentido quando a multiplicação por aquele elemento for uma função bijetora.

No anel dos números inteiros a hipótese da bijetividade não é satisfeita para o zero, assim, não se define divisão por zero.

Índice

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Propriedades importantes[editar | editar código-fonte]

As propriedades da divisão são herdadas, via inversão, da multiplicação. Não existe, entretanto, a propriedade de fechamento no conjunto dos números reais, uma vez que a divisão por zero não produz como resultado um número real.

Nos números inteiros[editar | editar código-fonte]

Os números inteiros não formam um corpo, portanto a divisão (como foi definido) só faz sentido quando o número que vai ser dividido (dividendo^[1]) é um múltiplo inteiro do número pelo qual se vai dividir (divisor^[1]). Para tratar dos casos em que o dividendo não é um múltiplo do divisor é necessário definir quociente e resto.

Se a e b são dois números inteiros positivos (com

b\geq a

), o quociente^[1] da divisão de a por b é o maior número inteiro q tal que

bq\leq a

. O resto^[2] da divisão de a por b com quociente q é o número inteiro r tal que

r=a-bq.

A noção de resto no anel dos números inteiros está intimamente conectada com a noção de congruência.

Nos números racionais, reais e em outros corpos[editar | editar código-fonte]

Por se tratarem de corpos, a divisão nesse caso fica reduzida a multiplicação pelo inverso.

Por um exemplo, para dividirmos um número racional

q_{1}={\frac {a}{b}}

por

q_{2}={\frac {c}{d}}

(com as hipóteses de que a,b,c e d sejam inteiros e que b,c e d sejam diferentes de zero) devemos prosseguir da seguinte forma

{\frac {q_{1}}{q_{2}}}=q_{1}\ q_{2}^{{-1}}={\frac {a}{b}}\ {\frac {d}{c}}={\frac {ad}{bc}}

{\mathbb {Z}}_{{13}}

(grupo multiplicativo dos inteiros módulo 13), que também é um corpo, a divisão de 7 por 5 se daria da seguinte forma:

{\frac {7}{5}}=7.5^{{-1}}=7.8=4

Divisão de polinômios[editar | editar código-fonte]

Pode-se definir a operação de divisão para polinômios. Então, como no caso dos inteiros, tem-se um resto.^[3] Veja divisão polinomial.

Em estruturas mais gerais[editar | editar código-fonte]

A divisão é possível em estruturas que não são dotadas dos axiomas de corpo. Em analogia ao caso dos números inteiros, tenta-se encontrar um quociente e um resto. Isso nem sempre pode ser feito com o auxílio da relação de ordem, pois a mesma nem sempre está presente. Quando pode-se definir uma função conveniente, trabalhamos com domínios euclidianos.

Representação[editar | editar código-fonte]

Existem algumas formas de se representar uma divisão:

Como uma fração: ${\frac {a}{b}},$ $\frac{a}{b},$ desde que o denominador seja diferente de 0.
Com uma barra: ${}^{a}\!{/}\!{}_{b}$ ${}^{a}\!{/}\!{}_{b}$
Com o sinal de divisão: $a\div b$ $a\div b$
Usando dois pontos: $a:b$ $a:b$
Usando o sinal de inverso: $ab^{-1}$ $ab^{{-1}}$

Ver também[editar | editar código-fonte]

Outros projetos Wikimedia também contêm material sobre este tema:
	Definições no Wikcionário

O wikilivro Teoria de números tem uma página sobre Algoritmo da divisão de Euclides

Notas e referências

↑ ^{Ir para:a} ^b ^c Essa nomenclatura é utilizada por Vianna (1914), p. 39
Ir para cima↑ Essa nomenclatura é utilizada por Vianna (1914), p. 40
Ir para cima↑ Serrasqueiro (1906), p. 35-37

Referências[editar | editar código-fonte]

Vianna, João José Luiz (1914). Elementos de Arithmetica 15 ed. (Rio de Janeiro: Francisco Alves).
Serrasqueiro, José Adelino (1906). Tratado de Algebra Elementar 9 ed. (Largo da Sé Velha: Livraria Central de J. Diogo Pires).