GRADIENTE

No cálculo vetorial o gradiente (ou vetor gradiente) é um vetor que indica o sentido e a direção na qual, por deslocamento a partir do ponto especificado, obtém-se o maior incremento possível no valor de uma grandeza a partir da qual se define um campo escalar para o espaço em consideração. Constrói-se assim, a partir do campo escalar e de um operador denominado operador gradiente, um campo vetorial, que atrela a cada ponto do espaço o correspondente vetor gradiente para a grandeza em consideração.

O módulo do vetor gradiente indica a taxa de variação da grandeza escalar com relação à distância movida quando desloca-se na direção e sentido do vetor gradiente (deslocamentos infinitesimais).

O campo vetorial e o operador gradientes possuem diversas aplicações em matemática e ciências naturais, indo desde o cálculo de derivadas direcionais à maximização das mesmas. A exemplo, a partir do gradiente do potencial elétrico determina-se o campo elétrico; e a partir do gradiente da energia potencial determina-se o campo de força associado.

Ex: ∇= distância vertical/ distância horizontal= Gradiente. O símbolo ∇, isto é, nabla é uma representação da gradiente.

Índice

  [esconder] 

• 1Definição
  • 1.1Exemplo
• 2Expressões
• 3Propriedades
  • 3.1Linearidade
  • 3.2Lei de Leibniz
  • 3.3Ortogonalidade às curvas de nível
  • 3.4Teorema do gradiente
  • 3.5Derivada direcional
• 4Sistemas de coordenadas
  • 4.1Coordenadas cartesianas
  • 4.2Coordenadas cilíndricas circulares
  • 4.3Coordenadas esféricas
• 5Noção intuitiva de gradiente
• 6Gradientes de tensão
• 7Referências
• 8Fontes externas
• 9Ver também

Definição[editar | editar código-fonte]

Dois exemplos de gradiente^[1]. Em cada caso o valor da função é indicado pela escala de cinzas.

O vetor gradiente ou simplesmente gradiente de um campo escalar ${\displaystyle f_{(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})}}$ é determinado via ênupla ordenada definida por:

${\displaystyle {\mbox{grad}}\,f=\left\langle {\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}},\cdots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right\rangle }$

ou, via notação de soma de Euler, por:

${\displaystyle {\mbox{grad}}\,f=\sum ^{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}{\hat {e}}_{i}}$

onde ${\displaystyle {\hat {e}}_{i}}$ são os vetores unitários ortogonais que definem a base a partir da qual se coordena o espaço e ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}}$ representa o respectivo operador derivada parcial.

Já na notação de soma de Einstein, onde índices repetidos no mesmo fator implicam somatório, para o campo escalar φ:

${\displaystyle {\mbox{grad}}\,\varphi =\partial _{i}\varphi \cdot {\hat {e}}_{i}}$

O símbolo nabla foi introduzido por William Hamilton e rapidamente assimilado pela comunidade científica:

${\displaystyle \nabla {\overrightarrow {f}}_{(x_{1},\dots ,x_{n})}={\mbox{grad}}\,f}$

No entanto, por abuso de linguagem, é comum não se indicar a "seta" de vector e a notação poderá torna-se em:

${\displaystyle \nabla f={\mbox{grad}}\,f=D_{f}}$

O gradiente também pode ser generalizado em ordem – se fornecemos um campo vectorial obtemos um campo tensorial.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Para a função escalar

${\displaystyle f_{\!\left(x,y,z\right)}=4x+10y^{2}-\sin z}$

tem-se, na base cartesiana ${\displaystyle {\hat {i}},{\hat {j}},{\hat {k}}}$

${\displaystyle {\mbox{grad}}\,f={\frac {\partial (4x+10y^{2}-\sin z)}{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial (4x+10y^{2}-\sin z)}{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial (4x+10y^{2}-\sin z)}{\partial z}}{\hat {k}}}$

que fornece por resposta a ênupla

${\displaystyle {\vec {\nabla }}f=\left\langle 4;20y;-\cos z\right\rangle }$

ou explicitamente

${\displaystyle {\vec {\nabla }}f=(4){\hat {i}}+(20y){\hat {j}}+(-\cos z){\hat {k}}}$

para qualquer ponto definido pelas coordenadas ${\displaystyle \left(x,y,z\right)}$, restando apenas a substituição dos respectivos valores x, y e z na expressão acima.

Expressões[editar | editar código-fonte]

Para todo campo escalar ${\displaystyle f}$ diferenciável em função do espaço cartesiano ${\displaystyle {\vec {x}}=\left\langle x,y,z\right\rangle }$ temos que:

${\displaystyle \nabla f=\left\langle {\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\right\rangle }$

O gradiente é a derivada de um campo em função do espaço:

${\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial {\vec {x}}}}}$

Em uma só dimensão o gradiente de uma função que só depende do espaço:

Gradiente da função em 2-D f(x) = xe [^- (x² + y²)] é representada graficamente plotada como setas azuis

${\displaystyle \nabla f={\frac {df}{dx}}}$

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Linearidade[editar | editar código-fonte]

O gradiente é linear:

${\displaystyle \nabla \left(\alpha f+\beta g\right)=\alpha \nabla f+\beta \nabla g\qquad \left(\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {F} ^{2}\right)}$

Onde ${\displaystyle \mathbb {F} }$ é um corpo constante.

Lei de Leibniz[editar | editar código-fonte]

O gradiente segue a Lei de Leibniz na multiplicação:

${\displaystyle \nabla \left(f\cdot g\right)=f\nabla g+g\nabla f}$

E na divisão:

${\displaystyle \nabla \left(f/g\right)={\frac {g\nabla f-f\nabla g}{g^{2}}}\qquad \left(g\neq 0\right)}$

A inclinação da função f (x, y) = - (+ cos²x cos²y)² descrito como um campo de vectores projetada no plano inferior.

Ortogonalidade às curvas de nível[editar | editar código-fonte]

O vector gradiente sempre será ortogonal às curvas de nível (veja no artigo "Conjunto de nível"). Seja ${\displaystyle f(x\,,y)}$ uma função definida em ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{2}}$ e diferenciável em todo seu domínio.

Seja o conjunto ${\displaystyle C:\{(x,y)\in D|f(x,y)=k\}}$ onde x e y são funções de um parâmetro t tal que ${\displaystyle x(0)=x_{0}\,,y(0)=y_{0}}$.

Então, temos:

${\displaystyle f(x(t)\,,y(t))=k}$ (diferenciando com relação a t pela regra da cadeia)

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {dx}{dt}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{dt}}=0}$

A equação final pode ser interpretada como o produto escalar do gradiente de f por um vector tangente a f em ${\displaystyle (x_{0}\,,y_{0})}$, logo os dois são perpendiculares entre si.

Teorema do gradiente[editar | editar código-fonte]

O gradiente é revertido pelo integral de linha de acordo com o teorema do gradiente, que é análogo ao teorema fundamental do cálculo:

${\displaystyle \Delta f=f_{Q}-f_{P}=\int _{\gamma _{P}}^{\gamma _{Q}}\nabla f\cdot {\vec {d\gamma }}}$

Derivada direcional[editar | editar código-fonte]

A derivada direcional é um escalar que representa a derivada dum campo escalar ao longo de um versor (no caso abaixo, ${\displaystyle {\hat {u}}}$).

${\displaystyle \forall {\hat {u}}\quad D\!_{\hat {u}}\,f={\hat {u}}\cdot \nabla f}$

Sistemas de coordenadas[editar | editar código-fonte]

O gradiente é escrito nos diferentes sistemas de coordenadas tridimensionais nas seguintes formas:

Coordenadas cartesianas[editar | editar código-fonte]

${\displaystyle \nabla \,f={\frac {\partial f}{\partial x}}{\hat {e}}_{x}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\hat {e}}_{y}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\hat {e}}_{z}}$

Para coordenadas espaciais x, y e z.

Coordenadas cilíndricas circulares[editar | editar código-fonte]

${\displaystyle \nabla \,f={\frac {\partial f}{\partial \rho }}{\hat {e}}_{\rho }+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}{\hat {e}}_{\phi }+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\hat {e}}_{z}}$

Onde ${\displaystyle \rho }$ representa a distância ao eixo z, ${\displaystyle \phi }$ é o ângulo (tomado, em geral sobre o plano z=0 em relação ao eixo x) e z.

Coordenadas esféricas[editar | editar código-fonte]

${\displaystyle \nabla \,f={\frac {\partial f}{\partial r}}{\hat {e}}_{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}{\hat {e}}_{\theta }+{\frac {1}{rsen\theta }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}{\hat {e}}_{\phi }}$

Onde ${\displaystyle r}$ representa a distância à origem, ${\displaystyle \theta }$ é o ângulo entre a reta que liga o ponto à origem e o eixo z e ${\displaystyle \phi }$ é o ângulo formado pela projeção da reta que liga o ponto à origem no plano z=0 e o eixo x.

Noção intuitiva de gradiente[editar | editar código-fonte]

O gradiente é o vetor que aponta para onde a grandeza resultante da função tem seu maior crescimento^[2].

Gradientes de tensão[editar | editar código-fonte]

Os gradientes de tensão em redes elétricas são, depois dos transientes, os maiores causadores de danos em circuitos eletro-eletrônicos.

O retorno da energia elétrica numa linha de transmissão longa, após uma interrupção da mesma, faz-se acompanhar por transientes de tensão elevada até à estabilização do circuito. Simultaneamente, manifesta-se na rede um movimento oscilatório de baixa frequência, composto por gradientes positivos e negativos, denominados harmônicos, que fazem elevar e reduzir a tensão, acima e abaixo do seu valor nominal.

Referências

1. Ir para cima↑ «Confira este exemplo e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 2016-03-19.
2. Ir para cima↑ Pereira, Agnaldo Souza; Oliveira, Cláudio Barros Vitor Jefferson Pereira de (01/01/2007). «Cálculo II». Universidade do Estado do Amazonas. Consultado em 11 de dezembro de 2011.

Fontes externas[editar | editar código-fonte]

• Cálculo, George B. Thomas, (Décima Edição), Volume 2; Addison Wesley/Pearson Education do Brasil, São Paulo, (2002).
• Matemática para pais e filhos, Carol Vordeman, PubliFolha; Barry Lewis/Andrew Jeffrey/Marcus Weeks, São Paulo, (2011).

Ver também[editar | editar código-fonte]

• Teorema do gradiente
• Divergente
• Rotacional
• Degradê (Arte)
• Laplaciano
• Nabla

Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.

•  Portal da matemática

Categorias: 

• Cálculo vetorial
• Geometria diferencial