UNIAO MATEMATICA

Em teoria dos conjuntos, a união de dois ou mais conjuntos é o conjunto dos elementos que pertencem a pelo menos um destes conjuntos. É representada pelo símbolo {\displaystyle \cup } \cup.

Representando por |X| o cardinal de um conjunto X, e por {\displaystyle \cap } \cap a interseção de conjuntos, tem-se

{\displaystyle |A\cup B|+|A\cap B|=|A|+|B|} |A\cup B|+|A\cap B|=|A|+|B|,
que vale para A e B conjuntos finitos ou infinitos. Para conjuntos finitos, a igualdade anterior pode ser escrita na forma

{\displaystyle |A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|} |A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|,
que é um caso particular do princípio da inclusão-exclusão.

Definição[editar | editar código-fonte]
Pela teoria básica de conjuntos, define-se {\displaystyle A\cup B\,} A\cup B\, por:[1]

{\displaystyle A\cup B=\{x|x\in A\lor x\in B\}\,} A\cup B=\{x|x\in A\lor x\in B\}\,
Por exemplo:

Se A = {1, 2, 3} e B = {4 ,5}, então {\displaystyle A\cup B=\{1,2,3,4,5\}\,} A\cup B=\{1,2,3,4,5\}\,
Se A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 4, 5}, então {\displaystyle A\cup B=\{1,2,3,4,5\}\,} A\cup B=\{1,2,3,4,5\}\,. Note que os elementos do conjunto não são repetidos.
Pelos axiomas de Zermelo-Fraenkel, a definição acima não é válida. A definição de união é um pouco mais complicada que a definição de interseção, porque devemos, primeiro, construir um conjunto maior que A e B, antes de usar o axioma da separação.

Este conjunto existe, combinando o axioma do par com o axioma da união:

{\displaystyle \forall A\forall B\exists F(A\in F\land B\in F)} \forall A\forall B\exists F(A\in F\land B\in F) (Axioma do par)
{\displaystyle \forall F\exists C\forall y\forall x(x\in y\land y\in F\rightarrow x\in C)} \forall F\exists C\forall y\forall x(x\in y\land y\in F\rightarrow x\in C) (Axioma da união)
Aplicando a segunda proposição ao conjunto F da primeira, temos que:

{\displaystyle \forall A\forall B\exists C\forall x((x\in A\lor x\in B)\rightarrow x\in C)} \forall A\forall B\exists C\forall x((x\in A\lor x\in B)\rightarrow x\in C)
Finalmente, aplicando o axioma da separação com a fórmula {\displaystyle \Phi =(x\in A\lor x\in B)\,} \Phi =(x\in A\lor x\in B)\, para o conjunto C, obtemos uma união de A e B.

{\displaystyle \forall A\forall B\exists D\forall x(x\in D\iff (x\in A\lor x\in B))} \forall A\forall B\exists D\forall x(x\in D\iff (x\in A\lor x\in B))
O axioma da extensão garante que a união é única.

Em outras palavras, provou-se que

{\displaystyle \forall A\forall B\exists !(A\cup B)\forall x(x\in (A\cup B)\iff (x\in A\lor x\in B))} \forall A\forall B\exists !(A\cup B)\forall x(x\in (A\cup B)\iff (x\in A\lor x\in B))
Exemplo[editar | editar código-fonte]
Se A={1,3,4} e B={2,3}, então A U B={1,2,3,4}

Se A={10,30,400} e B={20,30}, então A U B={10,20,30,400}

Se A={1,3,9} e B={1,5,9},então A {\displaystyle \cap } \cap  B = {1,9}

Se A={1,2,3,4,5} e B={3,4,5,6}, então A - B= {1,2}

Se A={1,2,3,4,5} e B={3,4,5,6}, então B - A= {6}

Referências
Ir para cima ↑ Sunichi Toida, site da Old Dominium University, College of Sciences, Computer Sciences, Introduction to Set Theory, Set Operations [em linha]


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Teoria dos conjuntos
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