Geometria diferencial é o estudo da geometria usando o cálculo. Esses campos são adjacentes, e têm muitas aplicações em física, notavelmente na teoria da relatividade, e também em cartografia.
História[editar | editar código-fonte]
A geometria diferencial, originada da junção do cálculo com a geometria, nasceu, de certo modo, como uma ciência aplicada, principalmente em questões originadas da cartografia, de onde herdou parte de sua terminologia inicial. Posteriormente passou a ser de grande utilidade na astronomia e na engenharia.
Os pioneiros no estudo da geometria diferencial foram Pierre de Fermat, Christiaan Huygens e Isaac Newton, no século XVII. Fermat descobriu como encontrar tangentes de curvas representadas algebricamente. Huygens introduziu evolutas e involutas e descobriu e provou muitas propriedades de curvas utilizando esses conceitos. Newton foi o primeiro a investigar a curvatura por meio do cálculo infinitesimal.[1]
No século XIX, Carl Friedrich Gauss descobriu e provou o Theorema Egregium, estabelecendo uma importante propriedade das superfícies. Bernhard Riemann estendeu a teoria de Gauss para espaços de dimensões superiores e introduziu a noção de variedade de maneira a terem diversas propriedades geométricas, revolucionando a geometria e conduzindo à moderna geometria diferencial propriamente dita.[2]
Embora o cálculo fosse suficiente para o entendimento e a aplicação das leis de Newton, não o foi para a teoria da relatividade que nasceu sobre os alicerces do conhecimento estabelecido pela geometria diferencial. A interação entre a geometria diferencial e a análise tem sido fator de desenvolvimento de ambas as disciplinas. No espírito da geometria analítica de Descartes, questões profundas de análise têm sido resolvidas através da geometria e vice-versa. Todo um capítulo, extremamente atual e de grande potencial para aplicações, das equações diferenciais parciais não lineares, foi desenvolvido sob a inspiração de questões geométricas. A computação gráfica esta começando a demonstrar que a geometria diferencial estará proximamente presente e acessível para um público bem mais amplo, quer na área científica, quer na área empresarial, fornecendo a interface gráfica adequada à apresentação de resultados, ao desenvolvimento de novas tecnologias e ao planejamento de novos produtos.
Intrínseco versus extrínseco[editar | editar código-fonte]
Inicialmente e até a metade do século XIX, a geometria diferencial era vista de uma maneria extrínseca: curvas, superfícies eram consideradas dentro de um espaço euclidiano de dimensão maior (um plano em um espaço tridimensional, por exemplo). Começando com o trabalho de Riemann, a maneira intrínseca de se tratar a geometria foi desenvolvida, na qual não se pode sair do objeto geométrico.
A forma intrínseca é mais flexível, por exemplo na relatividade onde o espaço-tempo não podem ser naturalmente tratados extrinsecamente. É mais difícil de se definir curvatura do ponto de vista intrínseco, e outras estruturas como conexão, então há um preço a ser pago.
Essas duas maneiras diferentes de tratamento podem ser conciliadas,[3] por exemplo a geometria extrínseca pode ser considerada como uma estrutura adicional à intrínseca.
Referências[editar | editar código-fonte]
- ↑ [1] [ligação inativa]
- ↑ Michael P. Windham. Gauss - Riemann - Einstein
- ↑ David Hestenes "The Shape of Differential Geometry in Geometric Calculus" http://geocalc.clas.asu.edu/pdf/Shape%20in%20GC-2012.pdf e http://staff.science.uva.nl/~leo/agacse2010/talks_world/Hestenes.pdf
- Manfredo P. do Carmo – Elementos de Geometria Diferencial
- Keti Tenenblat – Introdução à Geometria Diferencial
- Michael Spivak – A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (Cinco volumes, em inglês)
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