CONJUNTO

Na matemática, um conjunto é uma coleção de elementos^[1]. A relação básica entre um objeto e o conjunto é a relação de pertinência: quando um objeto x é um dos elementos que compõem o conjunto A, dizemos que x pertence a A.^[2]

Nos conjuntos, a ordem e a quantidade de vezes que os elementos estão listados na coleção não é relevante. Em contraste, uma coleção de elementos na qual a multiplicidade, mas não a ordem, é relevante, é chamada multiconjunto. Dizemos que dois conjuntos são iguais se, e somente se, cada elemento de um é também elemento do outro. ^[3]

Índice

  [esconder] 

• 1Importância
• 2Notação matemática
• 3Conceitos essenciais
  • 3.1Subconjuntos próprios e impróprios
  • 3.2Conjunto vazio
  • 3.3Cardinalidade
  • 3.4Conjunto potência ou das partes
  • 3.5Produto cartesiano
• 4Operações com conjuntos
• 5Conjuntos compostos por números
• 6Referências
• 7Ver também

Importância[editar | editar código-fonte]

Um conjunto é considerado um dos conceitos mais básicos da matemática, sendo o elemento principal da teoria dos conjuntos.

Notação matemática[editar | editar código-fonte]

É possível descrever o mesmo conjunto de três maneiras diferentes, por:

1. extensão: listando os seus elementos (ideal para conjuntos pequenos e finitos);
2. compreensão: definindo uma propriedade^[4] de seus elementos (o que, se for feito de forma descuidada, pode gerar problemas, tais como o paradoxo de Russell, em Principia mathematica);
3. representação gráfica: usando Diagramas de Venn.

A notação padrão em Matemática lista os elementos separados por vírgulas e delimitados por chaves (o uso de "parênteses" ou "colchetes" é incomum e, em determinados contextos, considerado incorreto). Um certo conjunto A, por exemplo, poderia ser representado como:

$${\displaystyle A=\left\{1,2,3\right\}}$$

Como a ordem não importa em conjuntos, isso é equivalente a escrever, por exemplo:

$${\displaystyle A=\left\{1,2,2,1,3,2\right\}}$$

Um certo conjunto A também fica definido (ou determinado, ou caracterizado) quando se dá uma regra que permita decidir se um objeto arbitrário pertence ou não a A. Por exemplo, a frase "B é o conjunto dos triângulos retângulos" define perfeitamente o conjunto B, já que permite decidir se um objeto qualquer é ou não elemento de B.^[2] O mesmo conjunto A do parágrafo anterior poderia ser representado por uma regra:

$${\displaystyle A=\left\{x\,|\,x{\mbox{ é um número inteiro tal que }}0<x<4\right\}}$$

ou ainda:

$${\displaystyle A=\left\{x\,:\,x{\mbox{ é um número natural tal que }}1\leq x\leq 3\right\}}$$

Note que as propriedades ou descrições de um conjunto são representadas dentro das {}, após os elementos e separadas destes por : ou por |. Também é possível representar graficamente os conjuntos. O Diagrama de Venn-Euler é a representação gráfica dos conjuntos, através de entidades geométricas.

Conceitos essenciais[editar | editar código-fonte]

• Conjunto: representa uma coleção de objetos, geralmente representado por letras maiúsculas;
• Elemento: qualquer um dos componentes de um conjunto, geralmente representado por letras minúsculas;
• Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto. Se ${\displaystyle a}$ é um elemento do conjunto ${\displaystyle A,}$ podemos dizer que o elemento ${\displaystyle a}$ pertence ao conjunto ${\displaystyle A}$ e podemos escrever ${\displaystyle a\in A}$. Se ${\displaystyle a}$ não é um elemento de ${\displaystyle A}$, nós podemos dizer que o elemento ${\displaystyle a}$ não pertence ao conjunto ${\displaystyle A}$ e podemos escrever ${\displaystyle a\not \in A.}$

Subconjuntos próprios e impróprios[editar | editar código-fonte]

Diagrama de Venn para ${\displaystyle A\subseteq B}$

Ver artigo principal: Subconjunto

Se ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ são conjuntos e todo o elemento ${\displaystyle x}$ pertencente a ${\displaystyle A}$ também pertence a ${\displaystyle B}$, então o conjunto ${\displaystyle A}$ é dito um subconjunto do conjunto ${\displaystyle B}$, denotado por ${\displaystyle A\subseteq B}$. Note que esta definição inclui o caso em que ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ possuem os mesmos elementos, isto é, são o mesmo conjunto (${\displaystyle A=B}$, é equivalente a ${\displaystyle A\subseteq B}$ e ${\displaystyle B\subseteq A}$). Se ${\displaystyle A\subseteq B}$ e ao menos um elemento pertencente a ${\displaystyle B}$ não pertence a ${\displaystyle A}$, então ${\displaystyle A}$ é chamado de subconjunto próprio de ${\displaystyle B}$, denotado por ${\displaystyle A\subset B}$. Todo conjunto é subconjunto dele mesmo, entretanto não se enquadra na definição de subconjunto próprio, e é chamado de subconjunto impróprio.

Conjunto vazio[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Conjunto vazio

É o conjunto que não possui elemento. Ele é representado pelos símbolos ${\displaystyle \{\}}$ ou ${\displaystyle \emptyset }$. Nunca use para demonstrar um conjunto vazio esta representação ${\displaystyle \{\emptyset \}}$, pois ela indica que há um elemento dentro deste conjunto o que o torna um conjunto unitário. Todo conjunto também possui como subconjunto o conjunto vazio representado por ${\displaystyle \{\}}$ou ${\displaystyle \emptyset }$.

Podemos mostrar isto supondo que se o conjunto vazio não está contido no conjunto em questão, então o conjunto vazio deve possuir um elemento ao menos que não pertença a este conjunto. Como o conjunto vazio não possui elementos, isto não é possível. Como todos os conjuntos vazios são iguais, uns aos outros, é permissível falar de um único conjunto sem elementos.

Cardinalidade[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Cardinalidade

Se um conjunto tem n elementos, onde n é um número natural (possivelmente 0), então diz-se que o conjunto é um conjunto finito com uma cardinalidade de n ou número cardinal n.

Mesmo se o conjunto não possui um número finito de elementos, pode-se definir a cardinalidade, graças ao trabalho desenvolvido pelo matemático Georg Cantor. Neste caso, a cardinalidade poderá ser ${\displaystyle \aleph _{0}}$ (aleph-0), ${\displaystyle \aleph _{1},\aleph _{2}....}$

Nos dois casos a cardinalidade de um conjunto ${\displaystyle A}$ é denotada por ${\displaystyle |A|}$. Se para dois conjuntos A e B é possível fazer uma relação um-a-um entre seus elementos, então ${\displaystyle |A|=|B|.}$

Conjunto potência ou das partes[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Conjunto de partes

O conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto dado ${\displaystyle A}$ é chamado de conjunto potência (ou conjunto das partes) de ${\displaystyle A,}$ denotado por ${\displaystyle P(A).}$ O conjunto potência é uma álgebra booleana sobre as operações de união e interseção.

Sendo o conjunto dado A finito, com n elementos, prova-se que o número de subconjuntos ou o número de elementos do conjunto potência ou conjunto das partes de A é ${\displaystyle 2^{n},}$ ou seja, a cardinalidade do conjunto das partes de A é igual a ${\displaystyle 2^{n}.}$ Como existe uma bijecção entre o conjunto das partes de A e o conjunto ${\displaystyle \{0,1\}^{A},}$ é usual representar-se P(A) por ${\displaystyle 2^{A}.}$

O Teorema de Cantor estabelece que ${\displaystyle |A|<|P(A)|.}$

Produto cartesiano[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Produto cartesiano

O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de pares ordenados:

$${\displaystyle A\times B=\{(a,b):a\in A\land b\in B\}}$$

A soma ou união disjunta de dois conjuntos A e B é o conjunto

$${\displaystyle A+B=A\times \{0\}\cup B\times \{1\}.}$$

Operações com conjuntos[editar | editar código-fonte]

De maneira semelhante ao que ocorre com os números, também existem operações matemáticas com conjuntos. Nos exemplos são utilizados diagramas de Venn para ilustrar.

Operação	Operador	Definição	Exemplo
União	${\displaystyle \cup }$	A união (ou reunião) de dois conjuntos ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ é o conjunto ${\displaystyle A\cup B}$ composto dos elementos que pertencem a um dos conjuntos ${\displaystyle A}$ ou ${\displaystyle B}$ ou a ambos. A união de N conjuntos ${\displaystyle S=S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3}\cdots \cup S_{N}=\cup _{i=1}^{N}S_{i}}$ é o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos ${\displaystyle S_{i}}$. A união entre dois conjuntos pode ser definida formalmente por ${\displaystyle A\cup B=\{\forall x|x\in A\lor x\in B\}}$.	${\displaystyle A\cup B}$
Interseção	${\displaystyle \cap }$	A interseção de dois conjuntos ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ é o conjunto ${\displaystyle A\cap B}$ composto dos elementos que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$. A definição formal da interseção é ${\displaystyle A\cap B=\{\forall x|x\in A\land x\in B\}}$.	${\displaystyle A\cap B}$
Complementar	${\displaystyle A^{c}}$ ou ${\displaystyle U\setminus A}$	O complemento ${\displaystyle A^{c}}$ (ou ${\displaystyle U\setminus A}$) de um conjunto ${\displaystyle A}$ se refere aos elementos que não estão no conjunto ${\displaystyle A}$. Normalmente, o complementar se trata de maneira relativa a um conjunto universo ${\displaystyle U}$, isto é, o complemento de ${\displaystyle A}$ em relação a ${\displaystyle U}$. É o mesmo que ${\displaystyle U}$${\displaystyle -}$${\displaystyle A}$. O conjunto ${\displaystyle A^{c}}$ é formado pelos elementos de ${\displaystyle U}$ que não pertencem a ${\displaystyle A}$, formalmente definida por ${\displaystyle A^{c}=\{\forall x|x\in U\land x\notin A\}}$	${\displaystyle A^{c}}$
Diferença	${\displaystyle \setminus }$ ou ${\displaystyle -}$	A diferença ${\displaystyle A\setminus B}$ (ou ${\displaystyle A}$${\displaystyle -}$${\displaystyle B}$) entre dois conjuntos ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ é o conjunto dos elementos que pertencem a ${\displaystyle A}$ e que não pertencem a ${\displaystyle B.}$ A diferença entre dois conjuntos pode ser definida formalmente por ${\displaystyle A\setminus B=\{\forall x|x\in A\land x\notin B\}}$.	${\displaystyle A\setminus B}$

Conjuntos compostos por números[editar | editar código-fonte]

Nota: Nesta seção, a, b e c são números naturais, enquanto r, s, t e u são números reais.

1. Números naturais são usados para contar. O símbolo ${\displaystyle \mathbb {N} }$ usualmente representa este conjunto. Na literatura matemática, é possível encontrar textos que incluem o zero como número natural e textos que não incluem.
2. Números primos aparecem na fatoração de números inteiros. O símbolo ${\displaystyle \mathbb {P} }$ usualmente representa este conjunto.
3. Números inteiros aparecem como soluções de equações como x + a = b. O símbolo ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ usualmente representa este conjunto (do termo alemão Zahlen que significa números).
4. Números racionais aparecem como soluções de equações como a + bx = c. O símbolo ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ usualmente representa este conjunto (da palavra quociente).
5. Números irracionais são números reais que não são números racionais. O símbolo ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$ usualmente representa este conjunto.
6. Números algébricos aparecem como soluções de equações polinomiais (com coeficientes inteiros) e envolvem raízes e alguns outros números irracionais. O símbolo ${\displaystyle \mathbb {A} }$ ou ${\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}}$ usualmente representa este conjunto.
7. Números transcendentais são números reais que não são números algébricos. O símbolo ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {A} }$ usualmente representa este conjunto.
8. Números reais incluem os números algébricos e os números transcendentais. O símbolo ${\displaystyle \mathbb {R} }$ usualmente representa este conjunto. (O estudo destes conjuntos é tão importante que recebe até nome específico: análise real.)
9. Números imaginários aparecem como soluções de equações como x ² + r = 0 onde r > 0. O símbolo ${\displaystyle \mathbb {I} }$ ou ${\displaystyle i\mathbb {R} }$ usualmente representa este conjunto.
10. Números complexos é a soma dos números reais e dos imaginários: ${\displaystyle r+si.}$ O símbolo ${\displaystyle \mathbb {C} }$ usualmente representa este conjunto.
11. Números quaterniões é a soma de números reais e de três números imaginários de unidades distintas: ${\displaystyle r+si+tj+uk.}$ O símbolo ${\displaystyle \mathbb {H} }$ usualmente representa este conjunto.
12. Números octoniões é a soma de números reais e de sete números imaginários de unidades distintas. O símbolo ${\displaystyle \mathbb {O} }$ usualmente representa este conjunto.
13. Números complexos hiperbólicos é a soma de números reais com uma unidade que satisfaz ${\displaystyle \jmath ^{2}=1}$ e ${\displaystyle \jmath \neq \pm 1.}$ Os números complexos hiperbólicos são da forma ${\displaystyle r+s\jmath .}$ Aqui tanto r quanto s podem ser iguais a zero. O símbolo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,1}}$ usualmente representa este conjunto.
14. Números p-ádicos são uma extensão dos números inteiros, onde p é um número primo. Os símbolos ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ usualmente representam estes conjuntos. (não confundir com inteiros módulo p)
15. Números ordinais aparecem em Teoria dos Conjuntos. Não existe o conjunto dos números ordinais.
16. Números cardinais aparecem em Teoria dos Conjuntos. Um número cardinal é um número ordinal que não é equipotente a nenhum ordinal menor do que ele. Não existe o conjunto dos números cardinais.

Referências

1. Ir para cima↑ «Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre» (PDF) (em alemão). Georg Cantor. doi:10.1007/bf02124929
2. ↑ ^{Ir para:a b} LIMA, Elon Lages. Curso de análise volume 1. 11ª edição, 2004. Página 2. ISBN 9788524401183
3. Ir para cima↑ Conjuntos
4. Ir para cima↑ Menezes, Paulo Blauth (2008). Matemática Discreta para Computação e Informática 2ª ed. Porto Alegre: Bookman. p. 3, 38-39. ISBN 978-85-7780-269-2

Ver também[editar | editar código-fonte]

O wikilivro Matemática elementartem uma página intitulada Conjuntos

O Commons possui uma categoriacontendo imagens e outros ficheiros sobre Conjunto

• Filosofia da matemática
• Lógica matemática
• Teoria dos conjuntos
• Multiconjunto
• Hiperconjunto
• Em análise real: conjunto aberto, conjunto fechado, fecho
• Principia mathematica
• Anticonjunto
• Conjuntos habitacionais

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