CAMPO VENTORIAL

Em matemática um campo vetorial ou campo de vetores é uma construção em cálculo vetorial que associa um vetor a todo ponto de uma variedade diferenciável (como um subconjunto do espaço euclidiano, por exemplo). Isso é, um campo de vetores é uma função vetorial que associa um vetor a cada ponto P(x,y,z) do espaço xyz, genericamente dada por:

$${\displaystyle \mathbf {F} (x,y,z)=f(x,y,z)\mathbf {i} +g(x,y,z)\mathbf {j} +h(x,y,z)\mathbf {k} .}$$

Onde f=f(x,y,z), g=g(x,y,z) e h=h(x,y,z) são as funções componentes que, quando associadas a um ponto P(x,y,z), fornecem o valor de cada componente do vetor na direção de i (vetor unitário na direção e sentido do eixo X positivo), j (vetor unitário na direção e sentido do eixo Y positivo) e k (vetor unitário na direção e sentido do eixo Z positivo), respectivamente.

Campos vetoriais são geralmente utilizados na física para indicar, por exemplo, a velocidade e a direção de um fluido ou um corpo se movendo pelo espaço, ou o comprimento e direção de alguma força, tal como a força magnética ou gravitacional, com seus valores de ponto em ponto.

Índice

  [esconder] 

• 1Definição
  • 1.1Exemplo de um Campo de Força
• 2Tipos de Campos Vetoriais
  • 2.1Campo Conservativo
    • 2.1.1
      $${\displaystyle {\overrightarrow {\mathbf {F} }}={\overrightarrow {\nabla }}P}$$

      
  • 2.2Campo Central
  • 2.3Campos Inverso-do-Quadrado
  • 2.4Integral de Linha
  • 2.5Del
    • 2.5.1Operador Nabla
    • 2.5.2Gradiente
    • 2.5.3Divergente
    • 2.5.4Rotacional
    • 2.5.5Laplaciano
• 3Ver também
• 4Bibliografia

Definição[editar | editar código-fonte]

Um campo vetorial de um subconjunto do espaço euclidiano ${\textstyle X\subset \mathbb {R} ^{n}}$ é uma função com valores vetoriais tais que

${\displaystyle \mathbf {F} :X\rightarrow \mathbb {R} ^{n}.}$

Diz-se que F é um campo vetorial ${\textstyle C^{k}}$ se cada componente é k vezes continuamente diferenciável. Um campo vetorial pode ser visualizado como um espaço X com um vetor n-dimensional associado a cada ponto em X. Embora as representações envolvam pontos discretos, campos vetoriais são formados por um número infinito de vetores.

Exemplo de um Campo de Força[editar | editar código-fonte]

Seja uma partícula A de massa M fixa em um ponto ${\textstyle P_{0}}$ e seja uma partícula B de massa m livre para ocupar várias posições P no espaço. A atrai B de acordo com a lei da gravitação universal de Newton. A força gravitacional F age de P para ${\textstyle P_{0}}$, com módulo tal que

$${\displaystyle |\mathbf {F} |={\frac {GMm}{r^{2}}},}$$

onde G é a constante gravitacional universal.

Pensando num sistema de coordenadas em que P e ${\textstyle P_{0}}$ possuam as coordenadas P(x,y,z) e ${\textstyle P_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})}$, , então a distância entre esses pontos é dada por

$${\displaystyle r={\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}}}}$$

de tal modo que r possa ser escrito como um vetor.

$${\displaystyle \mathbf {r} =(x-x_{0})\mathbf {i} +(y-y_{0})\mathbf {j} +(z-z_{0})\mathbf {k} }$$

Sabendo-se que ${\textstyle -{\frac {\mathbf {r} }{r}}}$ é um vetor unitário de mesma direção e sentido de F, tem-se que

$${\displaystyle \mathbf {F} =|\mathbf {F} |({\frac {-\mathbf {r} }{r}})}$$

$${\displaystyle \mathbf {F} =-GMm{\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}}}$$

$${\displaystyle \mathbf {F} =-GMm{\frac {(x-x_{0})}{r^{3}}}\mathbf {i} -GMm{\frac {(y-y_{0})}{r^{3}}}\mathbf {j} -GMm{\frac {(z-z_{0})}{r^{3}}}\mathbf {k} }$$

^[2]

é uma função vetorial que descreve a força gravitacional que A provoca em B.

Tipos de Campos Vetoriais[editar | editar código-fonte]

Campo Conservativo[editar | editar código-fonte]

O campo vetorial

$${\displaystyle {\overrightarrow {\mathbf {F} }}}$$

é dito conservativo se

$${\displaystyle {\overrightarrow {\mathbf {F} }}={\overrightarrow {\nabla }}P}$$

[editar | editar código-fonte]

Onde P é uma função potencial. Matematicamente o campo conservativo pode ser representado, em coordenadas cartesianas, por:

$${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\partial P}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial P}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial P}{\partial z}}\mathbf {k} .}$$

Outras formas de afirmar que um campo é conservativo são:

- Se o campo for irrotacional

 ${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}X{\overrightarrow {\mathbf {F} }}={\overrightarrow {0}}}$

- Se a Integral de caminho fechado for igual a zero, independente do caminho

 ${\displaystyle \oint {\overrightarrow {\mathbf {F} }}\bullet d{\overrightarrow {\mathbf {r} }}={\overrightarrow {0}}}$

Campo Central[editar | editar código-fonte]

Campos centrais são campos com origem em potenciais P que apenas dependem da distância, isso é: sendo

$${\displaystyle r={\sqrt {(x)^{2}+(y)^{2}+(z)^{2}}}}$$

Então, P(x,y,z)=P(r)

Campos Inverso-do-Quadrado[editar | editar código-fonte]

Campos ditos Inverso-do-Quadrado^[3] são aqueles campos vetoriais da forma

$${\displaystyle \mathbf {F(r)} ={\frac {c}{|\mathbf {r} |^{3}}}\mathbf {r} }$$

onde r é um vetor posição, no espaço bidimensional ou tridimensional:

${\displaystyle {\mathsf {r}}=x{\hat {i}}+y{\hat {j}}+z{\hat {k}}}$

e c uma constante característica do campo em questão.

Alternativamente, podemos expressar estes tipos de campos vetoriais da seguinte maneira:

$${\displaystyle \mathbf {F(r)} ={\frac {c}{|\mathbf {r} |^{2}}}{\hat {r}}}$$

com a introdução do versor posição, ${\displaystyle {\hat {r}}}$ :

${\displaystyle {\hat {r}}={\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |}}}$

Tais campos possuem caráter radial e a magnitude dos mesmos diminui com o quadrado da distância, pois :

${\displaystyle |\mathbf {F(r)} |={\frac {|c|}{|\mathbf {r} |^{3}}}|\mathbf {r} |={\frac {|c|}{|\mathbf {r} |^{2}}}}$

Se c >0 , temos um Campo Repulsivo ( ou de Fonte), e caso c <0 , há um Campo Atrativo ( ou de Sumidouro).

Campos Inverso-do Quadrado são ditos conservativos, visto que o rot((F(r))=0 .^[4]

Exemplos de Campos Inverso-do Quadrado são os Campos Gravitacional e Elétrico.

Integral de Linha[editar | editar código-fonte]

Uma técnica comum em física é integrar o campo vetorial ao longo de uma curva, sendo isto denominado como integral de linha. A integral de linha é construída analogamente à integral de Riemann e existe se o campo vetorial é contínuo.

Dado um campo vetorial W e a curva S parametrizada no intervalo [a,b], onde a e b são reais, a integral de linha é definida como

$${\displaystyle \int _{S}\langle W(x),\mathrm {d} x\rangle =\int _{a}^{b}\langle W(S(t)),S'(t)\;\mathrm {d} t\rangle .}$$

Del[editar | editar código-fonte]

Quando aplicado à campos vetoriais o operador del leva à duas operações essenciais, o divergente e o rotacional. Quando aplicado duas vezes tem-se o laplaciano vetorial, onde cada componente deste representa o divergente do gradiente do componente respectivo do campo vetorial argumento.

Operador Nabla[editar | editar código-fonte]

O operador Nabla é definido, em coordenadas retangulares, como:

$${\displaystyle \nabla ={\frac {\partial }{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial }{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial }{\partial z}}\mathbf {k} .}$$

Gradiente[editar | editar código-fonte]

O gradiente de uma função escalar F=F(x,y,z) é expresso, em coordenadas retangulares, como:

$${\displaystyle \nabla F={\frac {\partial F}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial F}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial F}{\partial z}}\mathbf {k} .}$$

A interpretação do gradiente é a direção na qual a variação da função F é máxima.

Divergente[editar | editar código-fonte]

O divergente de um campo vetorial continuamente diferenciável num espaço euclidiano de três dimensões é dado por

$${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{3}}{\partial z}}.}$$

Observa-se que o divergente é um campo escalar. A interpretação física do divergente é o fluxo pontual.

Rotacional[editar | editar código-fonte]

O rotacional calcula por uma superfície infinitesimal o quanto os vetores de um campo vetorial se afastam ou se aproximam de um vetor normal a esta superfície. O rotacional é um campo vetorial. Por definição, em três dimensões:

$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\left({\frac {\partial F_{3}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{2}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} -\left({\frac {\partial F_{3}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial z}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} .}$$

O rotacional pode ser interpretação, fisicamente, como sendo uma circulação no espaço.

Laplaciano[editar | editar código-fonte]

Como já dito, o Laplaciano é um escalar, calculado como o divergente de um campo gradiente, dado por:

$${\displaystyle \nabla ^{2}F=\nabla \cdot \nabla F={\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z^{2}}}.}$$

.

Uma das interpretações do Laplaciano é a concavidade da função F.

Ver também[editar | editar código-fonte]

• Cálculo vetorial
• Divergência
• Rotacional
• Gradiente

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

• Kreyszig, Erwin (1969). Matemática Superior para Engenharia. I II ed. [S.l.: s.n.] ISBN 8521616430

Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.

1. Ir para cima↑ «Faça exemplos com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 23 de março de 2016
2. Ir para cima↑ «Faça exemplos em dimensão dois com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 23 de março de 2016
3. Ir para cima↑ Anton, Bivens, Davis, Howard, Irl , Stephen (2014). Cálculo Volume II. Porto Alegre: Bookman. pp. 1086,1087
4. Ir para cima↑ Strauch, Irene. Análise Vetorial em dez aulas. [S.l.: s.n.]

Categoria: 

• Cálculo vetorial

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